换元法
作者:马萧萧 发表时间:2015年11月11日 浏览量:45 分享到空间
例1 解方程:(x - 2)2 - 2(x - 2)+ 1 = 0
分析:将x – 2看作整体,解关于x – 2的一元二次方程即可。
解析:
方法一 隐性换元法 将x – 2看作整体,但不用字母代替
QUOTE 2 = 0 即 (x – 2) - 1 = 0 解得 x1 = x2 = 3
方法二 显性换元法 将x – 2看作整体,用异于x字母代替
令x – 2 = t , 原方程可以化为 t2 - 2t + 1 = 0 , 即(t - 1)2 = 0 ,
解得 t1 = t2 = 1 即x – 2 = 1 解得 x1 = x2 = 3
评注:本题考查了一元二次方程的解法。解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法。
变式训练:(1)(x - 1)2 - 4(x - 1)+ 4 = 0
(2)(2x - 3)2 - 2(2x - 3)+ 1 = 0
例2 已知 QUOTE + QUOTE = QUOTE ,求x 的取值范围。 分析:本题可采用设而不求,凑成整体的换元方法。
解析:显性换元法 将被开数看成整体
( QUOTE + QUOTE )2 = ( QUOTE )2
QUOTE + 2 QUOTE + QUOTE = 2
2 QUOTE + 2 QUOTE = 2
QUOTE 须满足 x QUOTE 1
又因为2x - 1 QUOTE 0 解得 x QUOTE
所以x的取值范围是 QUOTE
隐性换元法
设 QUOTE 可得 QUOTE
要使条件等式成立,即 QUOTE + QUOTE = QUOTE ,也就是m + n + 2 QUOTE = 2 ,
所以2x + 2 QUOTE = 2,即 QUOTE – x 须满足 x QUOTE 1
变式训练:
已知 QUOTE + QUOTE = QUOTE ,求x 的取值范围。
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