践行数学思想，激活课堂教学

——以八年级“勾股定理”教学为例

袁良同

（庐江县乐桥镇新民初级中学，合肥  231581）

【摘 要】定理教学一般需要经历“提出问题→操作观察→归纳猜想→分析证明→多样表达→解决问题→反思内化”的过程。研究者通过设计系列探究活动，为学生创设“做数学、玩数学”的情景境，让学生在课堂中从“学会”到“会学”，从“会学”到“乐学”。

【关键词】定理教学；勾股定理；活动探究；数形结合

定理是经过逻辑证明为正确的命题，证明定理则是数学课堂的中心活动。一般地，定理教学需经历“提出问题→操作观察→归纳猜想→分析证明→多样表达→解决问题→反思内化”的过程，以促使学生对定理的学习达到一定的深度和广度。笔者应用定理教学的基本规范执教人教版八年级下册“勾股定理（第1课时）”取得了良好的教学效果。现将课堂实录及自己的思考整理成文，以期得到同行的指正。

一、课堂实录

（一）情境引入

师：同学们，课前我们先来欣赏一幅图片。这是2002年在北京召开的国际数学家大会现场图片（图略），左下方小图是本次大会的会徽。你们见过小图中的图案吗？为什么选择这个图案作为本次大会的会徽？

生：没有见过。

师：通过这堂课的学习，大家就会知道答案了。今天我们将要学习的内容是——勾股定理。(板书：勾股定理)

【设计意图】教师利用图片设疑，为学生积极主动地投入探索活动创设情境，以激发学生的学习热情。

（二）思考探究

师：生活之中处处有学问，只要你善于观察、用心思考，就会有所发现。下面我们一起开启一段数学探索之旅。

（课件出示：古希腊数学家毕达哥拉斯是位有心人。一次，他去朋友家做客时，发现朋友家地面图案是由全等的等腰直角三角形组成，这引起了他的思考：以图案中一个等腰直角三角形三边为边向三角形外部作3个正方形，3个正方形面积间有何关系？等腰直角三角形三边之间有何关系？）

师：地面图案是以哪种几何图形密铺而成的？

生：等腰直角三角形。

师：我们以等腰直角三角形ABC的三边为边向外作3个正方形。请大家看图思考，3个正方形的面积之间有何数量关系？（用几何画板展示图形的平移，如图1所示。）

生：2个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。

师：你是怎样发现的？

生：由图1可知，每个小正方形有2个小等腰直角三角组成，大正方形由4个小等腰直角三角形组成，而图中所有的小等腰直角三角形都是全等三角形，由此可知2个小正方形面积之和等于大正方形的面积。

师：不错。你的观察很仔细，通过直接数小等腰直角三角形的数量得出3个正方形的面积之间存在上述关系。大家再想想，将每个正方形的面积用等腰直角三角形ABC的三边来表示，那等腰直角三角形ABC三边之间有何数量关系？

生：AC²+BC²=AB²。

生：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

【设计意图】在提出问题环节，教师利用几何画板课件动态演示，让学生观察图片，交流讨论，知晓等腰直角三角形三边之间存在某种数量关系。通过问题来激发学生好奇、探究和主动学习的欲望。

师：等腰直角三角形三边之间存在上述数量关系，这一结论推广到任意直角三角形时还成立吗？

（课件出示：等腰直角三角形具有上述性质，其他的直角三角形也具有这个性质吗？图2中，每个小方格的面积均为1，请分别计算出图2中3个正方形的面积S₁、S₂、S₃，想一想S₁、S₂、S₃之间有何数量关系？）

师：S₁、S₂分别是多少？你是怎样算出来的？

生：S₁是4，S₂是9，我是根据两小正方形边长的平方算出来的。

师：S₃呢？还能通过求大正方形边长的平方算出来吗？如果不能，那该怎么求呢？

生：如图3所示，我在S₃内部添加4条辅助线，将S₃分割成4个全等的直角三角形和1个边长为1的小正方形，求出S₃=2×3×12×4+1²=13。

生：如图4所示，我在S₃外部添加4条辅助线，得到一个边长为5的大正方形，由大正方形的面积减去4个全等的直角三角形的面积，也能求出S₃的值为13。

师：好样的。图形割补法在求面积的计算中有着广泛的运用，两位同学分别采用内部分割、外部添补的方法，直观、形象地求出S₃的值。那么，S₁、S₂、S₃之间存在怎样的数量关系呢？

生：S₁+S₂=S₃。

师：由面积相等，我们可知直角三角形ABC三边之间存在怎样的数量关系呢？

生：AC²+BC²=AB²。

【设计意图】教师参与操作观察环节中的小组活动，倾听学生的交流，引导学生探究怎样求出S₃的值。由S₁+S₂=S₃推出直角三角形三条边之间的关系，即在直角边长为整数的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。该活动体现了学生的主体地位，发挥了教师的主导作用，培养了学生的类比迁移能力，让学生在动手操作中体验数形结合思想。

师：一般情况下，我们将Rt△ABC的直角顶点用点C表示，两直角顶点A、B所对的边分别用小写字母a、b表示，斜边用小写字母c表示。  

师：根据前面的探究，我们将刚才发现的结论由等腰直角三角形、直角边长为整数的直角三角形推广到任意直角三角形，你能否用一句话概括这一结论呢？

生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。

【设计意图】进一步推广发现的结论，让学生在相互欣赏和争辩中归纳猜想，体验由特殊到一般的思想。

（三）拼图证明

师：刚才的猜想是否成立，还有待严格证明。到目前为止，这个命题的证明方法有500多种，其中，我国古代数学家赵爽的证法非常直观、形象。下面我们一起来看看他是如何证明的。

师：首先，拿一个边长为a的小正方形和一个边长为b的大正方形如图5放置，将组合图形分割成2个全等的边长分别为a、b的长方形和一个边长为（b-a）的正方形；切割长方形得到四个全等的直角三角形，直角边长为a、b，设斜边长为c；将图5左下和右下直角三角形分别绕点A、点C旋转至图6所示位置，得到一个边长为c的大正方形；基于面积相等的基本事实，得到等式a²+b²=c²。至此，命题得证，书本将之称为命题1。 在我国，命题1又叫勾股定理，赵爽所拼成的图形被人们称为赵爽弦图。

（教师一边利用几何画板动态展示图形的切割、拼接，一边讲解。）

师：在刚才的探索证明过程中，你有什么感悟？

生：赵爽在图形的切割、拼接过程中，巧妙地利用面积恒等法来证明勾股定理，很直观、形象。

生：证明过程体现了数和形的完美结合。

生：反映了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我们中国古代数学的骄傲。

生：我欣赏到了赵爽弦图的端庄、典雅之美。

师：赵爽弦图除了能证明勾股定理外，还蕴含着丰富的数学知识。正因为如此，赵爽弦图被选作2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

【设计意图】教师借助几何画板重现古人推导过程，将数学史融入课堂，发挥数学史的育人功能，使学生在图形的切割、拼接过程中体会数形结合思想，激发探索欲望。

师：下面，让我们追随古人足迹，自己也来动手拼一拼，证一证。请大家拿出课前准备的4个全等的直角三角形，以小组为单位，类比以上方法拼接图形验证这个命题。

（学生上黑板拼图，如图7，利用面积法证明命题1，证明步骤略。）

师：很好。大家用心想，认真拼，用面积关系来规范书写证明过程。所拼的图虽然不同，但无论是外弦图还是内弦图，两图还是有相同之处的。你找到了吗？

生：所拼图形面积都能用直角三角形三边a、b、c来表示。

生：所拼图形面积都能用两种方法来表示。

师：讲得很准确。勾股定理的证明方法多，证法巧，在有限的课堂时间里去想一种新证法是有难度的，希望大家课后用心查找资料，下节课我们再一起来交流你学到的新证法。

师：勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。古埃及早在公元前2600年的纸莎草就有（3,4,5）这一组勾股数；大约公元前2500年，古埃及人就开始使用勾股定理的原理测量金字塔和土地；大约公元前2000年，大禹治水时曾用勾股定理的原理计算过水的落差，他成为第一个史书记载的与勾股定理有关的中国人；公元5世纪的普罗克勒斯给欧几里得的著作《几何原本》作注解时，将最早发现和证明勾股定理归功于毕达哥拉斯学派，我国东汉末年的赵爽用勾股圆方图来给予证明。(教师画出时间数轴，如图8所示。)

                            图8

【设计意图】学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 通过小组交流、动手拼图验证结论，对定理的理解更加深刻，再次体会数学中的数形结合思想。同时，教师让学生在探索、验证过程中体验数学发现和再创造的乐趣，享受发现数学之美、欣赏数学之美。教师利用时间数轴回顾勾股定理的历史，发挥数学史的育人功能。

（四）学以致用

师：勾股定理反映了直角三角形三边之间数量关系，该命题的条件是什么？得到的结论又是什么？

生：“在直角三角形中，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c”是条件，从形的方面规定三角形的形状必须为直角三角形。

生：结论是“a²+b²=c²”，得出三边之间的关系——两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：谁能把文字语言转换成符号语言？

生：∵a、b为Rt△ABC的两条直角边，c为Rt△ABC的斜边，∴a²+b²=c²。

【设计意图】教师加强数学符号语言教学，引导学生进行语言的转化，使学生会用数学语言准确、简洁地表达自己的观点和思想。

师：知识学了就要用，现在我们一起来完成课本第24页练习题第1—2题。

（学生口头回答第1题，板演第2题。）。

【设计意图】讲练结合，学生初步应用所学知识解决问题，加深对定理的理解。

（五）反思内化

师：本节课我们学习了哪些知识？

生：我们探究了勾股定理及其应用。

师：用到了哪些思想？

生：用到了特殊到一般以及数形结合的思想。

师：好！勾股定理是初中数学中重要的定理之，它研究的是直角三角形三边之间的数量关系，在以后的线段求值型问题中有着广泛应用，在现实生活中也有应用价值。下节课我们继续学习。

（六）作业布置

= 1 \* GB3 ①必做题：课本第28页习题第1—2题。

= 2 \* GB3 ②选做题：A.已知直角三角形两边长分别为5和12，求第三边长。

B.收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示交流。

【设计意图】教师在反思内化环节先让学生梳理课堂所学的数学知识、数学思想。课后作业设计体现了分层思想，在检验学生知识掌握情况的同时，让各层次学生都能有所提升，给学有余力的学生留下继续学习的空间。

二、教学反思

（一）紧扣定理，活动串联

本节课的教学重点是探索和验证勾股定理，难点是勾股定理的证明。应用勾股定理解决简单问题是第二节课的教学内容。基于以上考虑，笔者在课堂设计时按照“提出问题→操作观察→归纳猜想→分析证明→多样表达→解决问题→反思内化”的脉络,设计系列探究活动，为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生在课堂中从“学会”到“会学”，从“会学”到“乐学”。在活动探究过程中，教师充分发挥学生的主体作用，让学生在积极思考、主动探索、大胆想象、总结规律、探索验证中，自然地萌生新知，避免将探索课、验证课上成练习课。

（二）数形结合，提升素养

数形结合思想是初中数学非常重要的思想方法，它将抽象思维和形象思维结合起来，通过“以数助形”和“以形解数”的形式来降低思维难度，使复杂抽象的问题更加形象直观。学生在探究“等腰直角三角形三边之间数量关系”时，都是通过数小等腰直角三角形的数量来直观感知2小正方形面积之和等于大正方形的面积。笔者适时引导学生思考“如何用等腰直角三角形的三边来表示每个正方形的面积”，经历由形到数的转化过程，在数形结合中感知等腰直角三角形三边之间的数量关系。在“赵爽弦图证法”环节，笔者用几何画板动态演示正方形的切割、拼接，在面积相等的基本事实中体会数形结合思想。

（三）以史为源，汲取智慧

 科学给人知识，历史给人智慧。数学史与教学结合是一种趋势，数学课堂应从数学史中汲取丰富的教学素材和思想养料，为课堂教学所用。教师在备课时，应充分利用网络、图书来查找勾股定理的历史、证明方法和奇闻轶事，选取和教学内容密切关联的材料。在课堂导入中利用学生不熟悉的会徽设疑，成功地激发学生的求知欲和好奇心；在“地砖中的发现”环节，学生积极主动投入探索活动，热情高涨地开展有效探究；在拼图证明定理后，笔者利用数轴图回顾史实，让学生感受勾股定理的悠久历史。笔者把课堂设计成跟随古人的足迹去探索、验证勾股定理，充分发挥了数学史的育人功能。

（本文发表于《中小学课堂教学研究》2018年第8期）