“三头六臂”与“六臂三头”

    安徽省宿州市砀山县砀城第一小学老校区    张文亮

摘要：学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时随地都会发生作用，使他们受益终身。所以在培养的小学生的逆向思维、发散思维能力的同时，适时向他们渗透数形结合、一一对应、化归和类比等数学思想，对小学数学的学习和应用，至关重要。

关键词：三头六臂；摆、圈、用；就身取材；启发式教学

片段背景：

北师大版义务教育课程标准实验教科书小学《数学》二年级上册第四单元第6课“小熊开店”（第42——43页，约需2课时）。

说明：本课是在学生学完2——5的乘法口诀，会用除法算式表示平均分，初步了解乘除法之间的联系，充分体会到除法与实际生活密切相关的基础上进行的。

教学片段：

一、创设情境

      师：同学们见过有“三头六臂”的人吗？          

    生1：我看过电视剧《霍元甲》，其中“独臂老人”只有一只胳膊。

    生2（抢答）：你是“小沈阳的裤子”——跑偏了！电视剧《西游记》中，孙悟空一个跟头十万八千里，他能变成有“三头六臂”的人。       

    师：我佩服你！我怎么没想起来！现实生活中，你们见过这种人吗？

    生（齐答）：没有。

    师：如果真有这种人，会给我们带来什么好处？

    生1：呼风唤雨、利人利己。

    生2：降妖捉怪、为民除害。

    生3：路见不平一声吼，惩恶扬善。

    师：“三头六臂”的本义是有3个头6只胳膊。其实，现实生活中没有这种人。这是一个成语，它用来比喻人本领高超，神通广大。我们想变得三头六臂吗？

    生（齐）：想。

    师：一个人在什么情况下才能变得三头六臂？

    此时，教室内鸦雀无声，大家都在沉思。

    生4：一个人有了知识才能变得三头六臂。

    师：你是怎么知道的？

    生4：瞧！我们教室内南墙上标语“一个人有了知识才能变得三头六臂——马克思”

    师：你真是一位爱认真观察的孩子。

    顿时，教室里爆发出一阵热烈的掌声。

    师：我们长大要为人民立功劳，要成为有知识的人，就应该怎么办？

    生（齐）：爱学习，爱劳动，长大要为人民立功劳（大家不约而同地唱答起来，该句为《上学歌》之歌词）。

    师：那好！我们就从这节课开始吧！

    二、导入新课，解决实例

    师：我们知道，一般地，一个人有1个头2只胳膊，那么3个人共有几个头几只胳膊？（同时，课件显示）

    生1：3个头6只胳膊。用乘法算：1×3=3（个），2×3=6（只）。

    师：也就是“三头六臂”。（课件显示）反过来，如果有6只胳膊，应该长在几个人身上？这几个人共有几个头？

    生2：长在3个人身上；这3个人共有3个头。用除法算：6÷2=3（个），1×3=3（个）。

    师：也就是有“6臂”就有几“头”？

    生2：仨头。

    师：也就是说，有“3头”，就有“6臂”；有“6臂”，就有“3头”。填空：三头（   ）臂；六臂（   ）头。（同时，课件显示）

    生：三头（六）臂；六臂（三）头。

    师：大家真棒！会反过来思考问题了。下面，我们来看大屏幕——小熊开店（课件出示教材第42页主题图）。从图中，同学们看到了什么呢？

    生：（稍作思考后）小熊卖东西，并且每一样东西标明了价格。

师：这就是我们今天要学习的内容（板书：小熊开店）。

师：请独立完成大屏幕（课件出示教材第42页“算一算”）上的“算一算”：

（1）、买4辆坦克需要□元。     □○□＝□（元）

（2）、20元可以买□辆坦克。    □÷□＝□（辆）

生略加思索，开始动笔列式。让各组商量好，每组用1种算法。

师：各组找一代表，汇报一下算式与算法。

生（第一组代表）：

（1）、买4辆坦克需要□元。     （  5 ）（ × ）（  4  ）＝（  20  ）（元）

（2）、   20元可以买（ 4 ）辆坦克。   （ 20 ）÷（ 5 ） =（ 4 ）（辆）。   第（1）题，我是直接用5的乘法口诀计算的。第（2）题，我是反过来想的，因为“买4辆坦克需要20元”，所以反过来“20元可以买（ 4 ）辆坦克”，正如“三头六臂”与“六臂三头”；对“□÷□＝□（辆）”，是根据“20元可以买（ 4 ）辆坦克”直接填写的，也就是（ 20 ）÷（ 5 ） =（ 4 ）（辆）。

师：真不错，声音洪亮，好！

生（第二组代表）：我的和第一组填得一样，第（1）题算法也一样。对第（2）题，我是用“摆一摆”的方法来做的，我用了20根小棒，每根代表1元，每辆坦克5元，就用5根来代替，这样，“5根1份”地分，分了4份，正好分完，所以“20里面有4个5”，也就是“（ 20 ）÷（ 5 ） =（ 4 ）（辆）”。

师：说得很好！你用了我们前面学习的“摆一摆”的方法，会学以致用，知道“该出手时就出手”啦！好汉！第3组的算法呢？

生（第3组代表）：我们组8人，是通过商量，每两人一组合作完成的。例如，我和同桌的每一只手代表一辆坦克（每根手指代表1

元，5根手指代表5元，即一辆坦克的价钱），我边分别伸出我的两只手，边说“一五得五，二五一十”，接着，他同样边做边说“三五十五，四五二十”，4辆，噢！我骄傲！能用乘法口诀！四五二十，20  ÷  5  =  4 （辆）。

    （他手舞足蹈地大声疾呼着，好像发现了新大陆）

     师：这个小朋友说得太好了，老师要把手中的小红旗作礼物奖给他。他会用旧知识解决新问题了，就是会用乘法口诀计算除法算式了。刚才，大家根据题意列出算式：（1）.  4×5=20（元）；（2）.20÷5=4（辆）。请同学们注意这两个算式是不是存在一种“互逆”的关系？

生：（不太理解“互逆”） 4×5=20，反过来，20÷5=4。

师：说得多好哇！对，这就是“互逆”。第（1）、（2）小题各求的是什么？它们有什么区别？

生：第（1）小题求的是4个5 的和是多少，用乘法计算；第（2）小题求的是从20中能分出多少个5，可以用除法算式表示、计算。

师：请注意观察，（1）式中的积“20”正好是（2）式中的什么数？

生：被除数。

师：“5”是（1）式的“一个乘数”，正好是“（2）式”的什么数？

生：除数。

师：完全正确。那么，“（1）式”的“另一个乘数”“4”，正好是“（2）式”的“商”。（课件暂时清除“主题图”，再出示下题）请看大屏幕：“20元可以买4辆坦克车，每辆多少元？”怎样列式？

生1：很简单，我们在前几天就学会了用除法算式表示平均分，那就是把20平均分成4份——20÷4 。

师：用“乘法口诀”还是“摆一摆”、“圈一圈”计算最简便？

（大家你一言我一语，争论不休，众说纷纭。我便请大家用各自喜欢的方法来做。他们有的用20根小棒来“摆”，有的在草稿纸上画20条竖线来“圈”，有的用乘法口诀试算，个个忙得不亦乐乎！）

师：看谁算得又对又快？

（话语未落，第三组就有几只小手高高举起，我指明其一，令其回答）

生：20÷4=5（元）。

师：你怎么算这么快？

生：我用的乘法口诀，一四得四，二四得八，······四五二十。

师：很好！你用的几的乘法口诀？

生：4的。

师：你又答对啦！看来，一般地，用“乘法口诀”求商最简便。对20÷5=4，我们用了“一五得五、二五一十······四五二十”，是用的几的乘法口诀？

生：5的。

师：20÷5=4和20÷4=5最后都是用的哪句口诀？

生：四五二十。

师：那么，4×5=20，20÷5=4和20÷4=5都能用“四五二十”来计算，这三个算式之间有什么联系？（提示：先从形式上看，“20”在第一式中是积，而在后两式中都是作“被除数”······）

（众生两人一组，互相讨论）

生：如果把两个数相乘的积作为被除数，其中的一个乘数作除数，那么商就是另一个乘数。

师：真了不起，乘除法之间的联系都被你找出来了，只不过这两个乘数或其中一个可以是0吗？

生：不可以。

师：对，在“被除数”后还要加上“（0除外）”。这句话也就是说，由一个乘法算式一般可以得到几个除法算式？

生：两个。

师：由4×5=20，可得到哪两个除法算式？

生：20÷5=4，20÷4=5。

师：我们知道，2——5的乘法口诀是根据什么运算得来的？

生：加法。

师：乘法是什么的简便运算？

生：加法。

师：从本质上看，乘法是求和，还是求差？

生：和，几个相同的数的总和。

师：而除法恰恰相反，是把这个总和分成几个相同的部分。正因为如此，利用乘法口诀不仅可以求积，也可以求商。对于减法，我们知道可以用加法来计算，同样，对于乘法，我们知道可以用学过的加法推算出乘法口诀再来进行计算。那么，对除法来说，现在我们可以用学过的方法来计算吗？

生：能；还有好几种，如摆一摆、圈一圈和用乘法口诀。

师：同学们想出了三种解决方法，那么，这些方法中，你最喜欢哪种呢？

生：我最喜欢用乘法口诀。

师：其他方法就一点好处都没有吗？

生：摆一摆的方法比较方便，一摆好就能看出来，但是数字大了就麻烦了。

生：用圈圈的方法，先画竖杠，再圈，也不难得出答案。但如果被除数较小，就比较简单；较大，也麻烦。

师：真不简单！我们以后遇到新的数学问题时，除了可以反过来思考外，还可以想一想能不能用我们学过的知识来解决，一般，怎样最简便就怎样算。在什么情况下，一个人才能变得三头六臂（本领大）？

生：有了知识。

师：有了知识为什么就能变得三头六臂（本领大）？

生：用学到的知识解决问题，为人民服务。

师：棒极了！学好了是为了用，用好了就能很好地解决问题；学的知识越多、越好，用起来就越轻松自如，能解决的问题也就越来越多。这样，学了用，用了学，不久的将来，我们就能变得三头六臂，我们就会有越来越多的发明创造，人们的生活就会天天向上，我们将不是“孙悟空”，胜似“孙悟空”。想成“孙悟空”吗？

生：（异口同声）想！（声音震耳欲聋）

师：现在，我们已经学了三种“求商”的方法了：摆一摆、圈一圈、用乘法口诀。一般地，用乘法口诀最简便。我们再来看一下20÷5=□。对20÷5=□，我们是用口诀计算，怎样最简便？

生：一五得五、二五一十、三五十五、四五二十，等于4，这样数着算的。

师：这是用的几的乘法口诀？

生：5的。

师：再看20÷5，除数是几？

生：5。

师：所以，除数是几就先想几的乘法口诀。这里，我们数的最后一句口诀是什么？

生：四五二十。

师：为什么不能再往下数了？

生：因为“五五二十五”，5×5不等于被除数20了。

师：数到“三五十五”时，为什么不行？

生：因为3×5也不等于被除数20，所以，必须只数到“四五二十”。

师：这样，用乘法口诀求商，还要一句一句地数口诀吗？

生：不要了，“谁×除数=被除数”，“谁”就是商！

师：好一个“谁×除数=被除数，‘谁’就是‘商’”，你说得太棒、太好了！我们把最热烈的掌声送给她，好吗？（教室里的掌声响彻云霄）

师：用乘法口诀求商时，几乘以除数得被除数，商就是几（课件出示并闪烁该句）。这样，我们利用乘法口诀，就能一步到位迅速求出商来，而不必一句句地数口诀了。下面，请同学们利用今天我们所学的“用乘法口诀求商”（板书：：用乘法口诀求商）来独立完成课本第42页“想一想”（略）。 

（我接着用“看谁填得又快又好”活动进行比赛，看谁能最快将课本第42页“试一试”的除法运算都做正确。因初学用乘法口诀求商，有些学生还不太习惯或不够熟练，我巡视时及时进行了指点，相信随着学与练的逐步深入，他们定能对其运用自如）

 师：现在老师写两个算式，你能结合本课“主题图”说一说分别在解决什么问题吗？

师：24÷8，   36÷4。

（由于主题图信息比较简单，学生都能结合该图说出每道算式解决的是什么问题）

······

评析：

课始，我利用成语“三头六臂”激发了学生的学习兴趣，并适时对其进行了“为中华之崛起而读书”的理想教育，使他们在甜美的歌声中不由自主地走进新课。“导入新课”时，我继续围绕成语进行出题、提问，发现学生知道了由“三头”算“六臂”要用乘法，由“六臂”算“三头”要用除法，这样，不仅简单复习了“乘法口诀”和“除法与实际生活的密切联系”，也逐步培养了学生的逆向思维能力。

当我要求学生独立完成教材第42页“算一算”时，他们能够自主分组各用一种方法试算，说明经过一年多的数学学习，合作意识已在学生心中萌芽。对该题中两个小题，第（1）小题的算式与算法，三组同学不谋而合、无可厚非，5×4或4×5均对，因为直接用乘法口诀计算最简便。第（2）小题，第一组同学是利用的逆向思维，他们认为在知道“买4辆坦克需要（ 20 ）元”（ 第（1）小题答案）的情况下，做起第（2）小题就易如反掌，第（2）小题答案“20元可以买（ 4 ）辆坦克；（ 20 ）÷（ 5 ） =（ 4 ）（辆）”也就水到渠成了，焉用计算？第二组“摆一摆”的方法，一目了然，他们想，5根小棒与1辆坦克相对应，20根能分成几个5根，就有几辆坦克，无形中运用了数形结合、一一对应的数学思想方法，若我此时再说上一句：“瞧，这5根5根分出的小棒，多均匀、多漂亮啊！”，数学的匀称美顿时就会在学生心中油然而生，“我要学”的意志必将更加坚定。第三组同学进行了两人一组合作，而且是“就身取材”，各伸出自己的一双手用乘法口诀计算，算法灵活，思维具有创造性，这双手点燃了学生思维的火花，成了学生进行自主探索的工具；这双手，让学生学得主动快乐，让他们体验到了成功的喜悦。它与“圈一圈”的方法有异曲同工之妙，且技高一筹，回想起学生高声地呼唤：“噢！我骄傲！能用乘法口诀！四五二十，20÷5=4（辆）。”我的心情就万分激动，我感受到了他们取得成功的喜悦心情，感受到了他们渴望成功的强烈欲望。

对于“互逆”关系的理解，学生知道4×5=20，反过来，20÷5=4，具有一种“只会意会，不会言传”的朦胧感，我顺势给予了肯定和表扬，其实，有时数学问题不宜讲得太明，往往越讲得太明越易使人糊涂，何况是七、八岁的蓬头稚子。紧接着，我出示了“20元可以买4辆坦克，每辆多少元？”这样一道题（教材无该题），旨在为后续讲解由一道乘法算式一般可得到两道除法算式做准备。我让他们各用自己喜欢的方法去做，看谁做得既对又快，显然，从时间上显示出用乘法口诀计算的优越性。当我问：“由4×5=20可得到哪两道除法算式？”时，生答：“20÷5=4，20÷4=5”，此时，若时间允许，还可继续问：“由一道乘法算式一般可得到几道算式？”（答案应为：6道，乘、加、除法算式各二道）这样，一可培养学生认真审题的习惯，二可培养其严谨的治学态度，三可发展其发散思维能力和逆向思维能力，可谓一石多鸟。

通过“你最喜欢用哪种方法来解除法算式”的讨论，促使学生将不同方法进行类比，明确各种方法的优势和缺点，归纳出解决问题的不同方法，提炼出解决问题的最优方法。这个过程其实质就是从数学角度描述和刻画事物，这种数学化的思想方法对学生解决问题、把握事物的知识全貌有着重要的指导作用。第三次借用“三头六臂”，问其想成“孙悟空”吗？自然而然地将“化归思想”和“思想品德教育”融入其中，使我将学生的学习热情推向了高潮。进一步的两个“为什么”，使学生真正理解了“几乘以除数等于被除数，商就是几”的深刻内涵，学生在潜移默化中学会了“用乘法口诀求商”的最佳方法。

在该片段中，我采用启发式教学，讲练结合，对学生的引导由浅入深、循序渐进，符合儿童的认知发展规律，学生已初步构建起“几乘以除数等于被除数，商就是几”这一数学模型，为下面学习“用乘除法解决简单的实际问题”和“倍的意义”等做好了充分的准备。

参考文献：《教师教学用书》（北师大版小学二年级数学上册）；《小学数学教师》杂志。