小析“在数轴上表示”

滁州市第八中学 杨绍武

沪科版数学七年级下册第六章实数中定义了是无理数后，接着要求“在数轴上表示”。它的教学用意是先说明无理数可以在数轴上表示，进而得出“实数与数轴上的点是一一对应”的关系，最后说明可以比较实数之间的大小。笔者在教学本段时，进行了如下思考、理解和处理。

一、渗透“数形结合”的数学思想。

华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事休。”数形结合思想是重要的数学思想方法之一，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。数形结合的思想方法也是初中数学教学目标之一。“数轴”是初中阶段学生接触到的数形结合的经典模型。通过数轴，绝对值、相反数、比大小等知识点就变得易于理解。本段借助数轴，既说清了“实数与数轴上的点一一对应”的问题，即表示实数的“数”与表示“形”的数轴上的点之间的相互结合，又形象的给出了比较实数大小的方法。到此，通过数形结合的思想方法，学生对无理数就有了具体直观的感知，而对“是介乎于1和2之间的一个无理数”早已了然。

二、对“一一对应”的理解与拓展。

“实数与数轴上的点是一一对应的”，它表明每个实数都能在数轴上找到唯一的一个点来表示，而数轴上的每个点也仅仅表示一个实数，这就是一一对应的关系。这就像每位学生都有一个自己的学籍号，而每个学籍号也只能对应一个学生一样，学生与学籍号是一一对应的关系。清楚这些以后，任意两个实数的大小关系就被唯一的确定下来，因为数轴上表示这两个实数的点的位置是唯一的。

除了“一一对应”关系，我们的后续学习和生活中，还会出现其他形式的对应关系，如“一对多”、“多对一”、“多对多”等。可以试着让学生思考以下问题：“每节课里授课老师的人数与听课学生的人数之间的对应关系是怎样的？”、“每节课里听课学生的人数与授课老师的人数之间的对应关系是怎样的？”、“每天授课的老师的人数与听课的学生的人数之间的对应关系是怎样的？”这些活动的安排，为八年级时研究函数中自变量与因变量的对应关系打下铺垫。

三、 、、、等无理数的数轴表示。

正如同教材上介绍的数轴表示一样，我们还可以研究诸如、、、等无理数的数轴表示。因为就是面积为2的正方形的边长，而面积为2的正方形可以在网格中找到，那么“就是1×1的网格的对角线”，进一步简化为“就是直角边为1×1的直角三角形的斜边的长”。同理，也可以在网格中找到、、、等等无理数，“就是直角边为1×2的直角三角形的斜边的长”、“就是直角边为2×2的直角三角形的斜边的长”、“就是直角边为1×3的直角三角形的斜边的长”、“就是直角边为2×3的直角三角形的斜边的长”等等，通过这些探索实践，学生定当充分认识“实数与数轴上的点是一一对应”这一事实。为了进一步激发学生的数学学习兴趣，可以设置如下问题：“你能看出上述直角三角形的三个数字隐含有的规律吗？”其实，有些同学已经在上述探究中隐隐感觉到了某种规律，在如此设问下，学生会很快总结出：1²+1²=2, 1²+2²=5, 2²+2²=8, 1²+3²=10,

2²+3²=13。如果再问：“你还能利用数轴表示出其他无理数吗？”学生定然能较为轻松地解决。在此过程中，我们无疑又将八年级的勾股定理留了个伏笔。  

笔者将上述知识点用一节课时间与学生共同研究，虽然突破了常规的教学安排，但却挖掘出教材蕴含的潜在数学内容和数学思想，极大地激发了学生的学习热情，对培养学生的善思和开拓精神极有裨益。至于如何简洁地在数轴上表示出，学生通过自己的操作和彼此探讨，找到最适合的方法亦不会困难。