从“数与运算”看数学课程的整体性和一致性
合肥市六安路小学 邓红翠
从这次义务教育课标的修订,我们更加明晰所谓的数学核心素养指经过数学的教育,培养的人应该是什么样的,主要是指行为的有关问题,这也是数学教育的终极目标。现在我们把数学核心素养集中到三会上:会用数学的眼光观察现实世界;会用数学的思维思考现实世界;会用数学的语言表达现实世界。数学眼光主要是数学的抽象,这样使得数学有个基本特征,就是数学的一般性;数学思维主要是逻辑推理,这样使得数学有了严谨性;数学语言主要是数学模型,因为现在的数学应用大部分是以模型的形式应用于各个学科,因此使得数学具有了应用的广泛性。为了更好的适应于核心素养的教学,这次课标修订有个总体趋势,在数与代数领域中要强调整体性和一致性。所以在关注数学课程的整体性和一致性主要是指数与代数领域,而数与代数领域现在只有两个主题:数与运算和数量关系,今天主要谈谈从“数与运算”看数学课程的整体性和一致性。
一、感悟数学抽象的过程性
数学是抽象的东西,要让学生感悟到抽象的过程。数学研究的东西都是抽象的东西,抽象的东西是指什么呢?就是指舍去了事物的一切的物理背景,只留下数和形的研究。比如自然数从两匹马、两粒米抽象到两个小方块,抽象到2,这个过程是非常重要的。抽象的过程要分两步走,第一步把两匹马、两粒米抽象到两个小方块,这样就舍去了背景,使得数具有了一般性,这样的抽象是感性具体到感性一般的简约阶段;第二步再把两个小方块抽象到2,在形式上去掉数量的名词,用符号表示数。这样的抽象是感性一般到理性具体的符号阶段。如何认识用字母表示数(符号意识),字母是数的更高层次的抽象,从理性具体上升到理性一般的普适阶段。没讲字母表示数之前可以让孩子们感悟字母表示数,然后在诸多感悟之后,把他们共性抽象出来,这是认识事物的一种基本方法,从具体的到一般的。
二、感悟概念产生的必要性
这次义务教育课标的修订对于教学提出的基本原则是有两个:第一是不单纯介绍概念,新概念的引入要涉及概念的性质或者比较。根据这样的原则,就把负数移到初中的理由,过去小学数学只介绍负数,没有比较、没有计算。第二是不单纯介绍方法,新方法的引入要让学生感悟必要性,不是为了教而教。无论是认识世界的必要性,理解世界的必要性,还是表达世界的必要性,都要孩子感悟必要性。把方程移到初中的理由:过去小学数学用字母表示数的内容很少,过去小学数学中字母主要是表示未知数,这是不对的,表示未知数还是算术,因为表示未知数在古希腊时就有,而从算术变成代数最重要的表示是用字母来表示方程的系数,就是用字母能够一般性的表示数。未来的教材中一定会加强字母表示数的内容,过去的教学没有代数的思想,在本质上没有引入代数,过去的简易方程没有引入代数思想,还有过去的简易方程没有让学生感悟学习方程的必要性,如果用方程就必须让学生感悟到用传统的算术的方法计算起来非常困难的时候才引入方程,让学生感悟引入方程的必要性。
三、认数中整体性与一致性的表现
认数的整体性就是把整数的计数单位拓展到分数和小数。认识数的关键是十个符号与数位,因为是十进制。因此在这个意义上建议先讲1~9,然后把10和0单独的讲,这个过程要认识数位了。认数的一致性是在同样的数位上才能比较大小,比如分数大小的比较,同样的数位才能比大小,异分母需要通分得到相同的单位。在相同的单位下比较大小,这是数学的基本原则。再比如小数的单位,小数的单位0.1是十分之一,0.01是百分之一,0.001是千分之一……,也是十进制的,十进制是很重要的。十分之一的十分之一是百分之一,十分之一的百分之一是千分之一,这样就把小数的数位强调出来了,也为初中通过小数表达的有理数定义实数奠定了基础。
四、运算中整体性和一致性的表现
运算的整体性:减法是指加法的逆运算(算减法想加法);除法是乘法的逆运算(算除法想乘法);乘法是加法的简便运算;除法是减法的简便运算。
小学数学的难点是分数与小数的除法,是整数除以整数没讲透,使得分数除法和小数除法很别扭。小数除法用商不变来讲,数学是整体的,还是一致的。小数乘除法,化为十进制,数与数运算,单位与单位运算。应该把整数的运算拓展到小数来,这样得到了算法,得到乘法的算法:整数运算,小数点的个数相加。除法就根据刚才分数的道理,把他变成乘以倒数,倒数就是相约,约了之后是整数和整数相除,单位和单位相除,因此得到除法的算法:整数运算,小数点的个数相减。
无论是小数的运算还是分数的运算,其实本质上都回归到整数的运算,因此在小数的运算、分数的运算,特别是除法的运算之前要回顾整数的运算,这样就强调了整体性。
运算的一致性是在同样的数位上才能加减运算。无论是整数加减法的末位对齐,从个位算起,还是小数加减法小数点对齐,从低位算起,这样做的目的都是为了确保相同数位对齐,因为只有相同数位对齐,才能够保证相同的计数单位的个数相加减,这是藏在计算法则背后的运算的道理。除此之外在整数和小数的加法运算当中,都是满十进一,而减法中都是退一当十,这一点也是相通的,之所以是这样,是因为整数和小数都是十进位值制,相邻的计数单位之间的进率都是10。
在不同的算法背后,都藏着对计数单位的确定。运算离不开计数单位,也离不开计数单位的个数。我们在学习了不同的运算过后,要善于透过现象看本质。
关注数学课程的整体性和一致性的表现,最终是希望在新课标指引下,我们的数学教学能够更加关注学生的思维能力的培养,让孩子们学会想问题,让孩子们学会做事情,这是四基的基本活动经验,也是培养数学核心素养的基本前提。明知这样的教学是很困难的,但只有敢于实践、敢于尝试,才有可能创造出更好的经验!