巧建模 攻难点
———“平移的距离”教学难点的有效突破
安徽省六安市金安区三里桥小学 崔曼曼
缘起:
《平移和旋转》是北师大版三年级下册第二单元的内容。在我没教学之前,已有平行班的老师在办公室里大诉苦水:“这部分内容真难教,学生是一塌糊涂啊!”通过交流,我大致了解到其他班的学情:对生活中平移和旋转现象的识别较为轻松,但判断图形平移的距离和画出平移后的图形却错误较多。“历史往往会重演”。面对其他班的共性问题,我不敢掉以轻心,备课时格外精心。经过分析,我发现“判断图形平移的距离”和“画出平移后的图形”在学生认知上是有先后顺序的,即学生先要具有图形在方格纸上平移的直观几何感受,特别是拥有判断平移距离的方法基础,才能更好地掌握画图的技能。于是,我首先在“平移距离的判断”上做了重点处理。
实践:
一番准备之后,我信心满满地走进了课堂。在教学“判断图形平移的距离”时,我采取以下几个步骤来进行难点突破:一、尝试。出示三角形平移图,试说其平移的方向和距离。学生的想法各异,引起认知冲突。二、操作。用同样大小的三角形学具与原图重合,再向上平移,直至与平移后的图形(后文称作现图)重合,边移边数。三、探索。1、思考:假如没有三角形纸片的帮忙,怎么判断三角形向上平移几格?学生说出可看顶点等。2、寻找对应点。要求学生任选三角形的一个顶点,观察并判断其平移的距离。学生汇报演示后,说明这样的两个点叫“对应点”。再请学生寻找有无其他对应点,平移的距离分别是多少。3、提炼。通过引导,学生发现原三角形上的每个点都向上平移了三格,讨论得出:抓关键点,数关键点平移的格数。四、应用。学生完成书本P19(2)。经过思考讨论,当堂反馈的效果较好。 我不由得舒了一口气。
没想到,第二天检查学生的家庭作业P20第2题时(如左图),却让我大跌眼镜。历史果然会重演!有的学生竟然还填成汽车向左平移3格,飞机图错的尤为严重。难道真如其他老师所言,要练习练习再练习,练它个天昏地暗吗?研读着学生的错例,我独自沉思能否找到什么好办法。“这个孩子显然是没数小汽车自身的宽度”,突然,我的脑中灵光一闪,“咦,汽车的宽度加间隔格数不就是它向左平移的距离吗?”经过一番详细的例证,我终于探寻出隐藏在图形平移中的数学模型。A、原图与现图之间有间隔时(如上图),平移的距离=图形宽度(或高度)+间隔格数。如:汽车图5+3=8;轮船图4+3=7;飞机图2+1=3。B、原图与现图之间有重叠时(如左图),平移的距离=图形宽度(或高度)-重叠格数。如:小鱼图3-1=2。于是就产生了独辟蹊径的第二次教学。
片段回放:(出示如上的小汽车图)
一、出示错例,初建模型。
师:“小汽车向左平移3格”。这位同学判断的对吗?为什么?
生:不对!应该是向左平移8格。(生上台演示)
师:请提醒这位同学,他错在哪儿?
生:他少数了5格。他可能把车头的这个点平移到车尾这里了。
生:我认为他只数了间隔的格子数,没有用“找关键点再数格子”的方法。
师:仔细看一看,这5格其实是什么?
生:是小汽车的宽!
师:有点意思,这里有什么规律吗?如果不用“数格子法”,怎么判断出小汽车平移的距离?看谁有双火眼金睛。
小组讨论后交流。
生:可以用计算法,汽车的宽度加中间的格子数就是平移的距离。
师:是吗?我们来看这里的三幅图,有没有这样的规律呢?
学生们惊喜地发现果然如此。
归纳:有间隔时,左右平移的,图形宽度+间隔格数=平移的距离;上下平移的,图形高度+间隔格数=平移的距离。
板书: 图形宽度(或高度)+间隔格数=平移的距离
二、变式迁移,完善模型
师:同学们真聪明!如果是这样平移的,该怎么办呢?这里又藏着什么秘密?(出示有重叠部分的图形。)
经过研究、讨论,得出:图形重叠时,左右平移的,图形宽度-重叠格数=平移的距离;上下平移的,图形高度-重叠格数=平移的距离。
板书:图形宽度(或高度)-重叠格数=平移的距离
接下来的一组练习 ,学生应用刚建立的模型轻松愉快地确定了图形平移的距离。
画平移后的简单图形时,我启发学生思考“假如让你画出小汽车向左平移8格后的图形,计算法能不能帮上忙呢?” 接着出示一组具体图形,引导学生探究出:先算出间隔格数(或重叠格数),再根据图形宽度或高度,确定关键点的对应点位置,最后连线成图。当然也可把此模型作为用“数格子法”画图的检验方法。
反思:
分析错例发现模型。学生在学习过程中犯错、出问题是一种自然现象,关键是老师怎么对待,是视而不见、放任自流,美其名曰等待成长?是立即行动,不假思索地重复性指导?还是进行教学反思,挖掘学生错误中的价值因素,寻求更有效的解决办法?我以为:学生的问题就是教师的考题,学生的错误就是对教师的耐心与智慧的考验。教师应立即查找原因,积极寻求应对措施。“平移距离的判断”是这部分内容的棘手问题。课前虽然我做了认真准备,但由于缺乏自己独立的思考,颇费心血的处理并未取得良好的效果。在分析学生错误时,我偶生灵感,最终用不完全归纳法研究出“计算法”这一数学模型来进行快速判断。第二次教学后,学生的后续反馈表明:面对学生学习中出现的问题,我交出了一张优秀的答卷。
利用建模攻克难点。 “数学模型”是指“为了一定的目的对现实原型作抽象、简化后,采用形式化的数学符号和语言所表述出来的数学结构”,它是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。而“把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。”解读学生错误时顿生的灵感,引领我琢磨出了关于判断平移距离的数学模型。经过验证,确定成立。“数格子法”是抓关键点进行点数,属于具体的操作层面;“计算法”则是在具体操作基础上的简化、优化,是经过抽象概括提炼而成的数学模型。此模型反映图形平移过程中蕴含的一般规律,可帮助学生以数学方式认识和描述隐藏在图形背后的关系,使原本较难的问题变得简单,从而提高学生解决问题的准确率和效率。在构建此模型时,学生经历分析、判断、比较、推理、概括、归纳等一系列的思维活动,自主探索出图形平移过程中的规律,不仅收获了更有效的方法,拥有了解决此类问题的利器,还在具体的建模及用数学语言外化想法的过程训练了思维能力,更重要的是深刻体会了数学模型的价值和力量,得到了数学化的洗礼。实践结果证明,在解决图形平移距离判断的问题中,此数学模型起到了“四两拨千斤”的作用。