“猜想—验证”是数学中重要的思想方法。正如牛顿所说:“没有大胆的猜想,就不可能有伟大的发现。”亦如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所言:“真正的数学家,常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想,然后加以证实。”有效的猜想能够引领学生的探究活动深入而高效地进行,为数学素养的形成与发展增添无限的动力。
然而,纵然“猜想”百般好,未有“验证”万事休。学生又是怎样验证的呢?不妨以“钉子板上的多边形”一课为例,来看看孩子们的“猜想—验证”之旅。
一、引发问题
师:今天这节课,我们要研究钉子板上的多边形,请每位同学在钉子板上围出两个多边形。(学生动手围图形)
生:我想研究钉子板上的多边形的面积和用到的钉子数有没有关系。
师:是啊,既然是钉子板上的多边形,它的面积和用到的钉子数有没有关系呢?
生:我觉得有关系。围图形时用到的钉子数越多,围成的多边形的面积就越大。
生:我觉得不一定!比如,我围成的这两个图形(出示下图),第一个图形用了11个钉子,面积是平方厘米;第二个图形用了10个钉子,面积却是6平方厘米。
生:我觉得钉子板上的多边形的面积不仅和边上的钉子数有关,可能和图形里面的钉子数也有关系。
师:真好!钉子板上的多边形的面积和钉子数到底有没有关系、有怎样的关系,还需要进一步探究。
二、研究学习
1. 初探规律:多边形内有1个钉子
生:第一幅图是一个三角形,底是2cm,高是2cm,面积就是2×2÷2=2(cm2)。这个三角形的边上有4个钉子,里面有1个钉子,我发现这个三角形的面积正好等于边上的钉子数除以2。
生:第二幅图是一个正方形,边长是2cm,面积就是2×2=4(cm2)。这个正方形的边上有8个钉子,里面有1个钉子,我发现这个正方形的面积也正好等于边上的钉子数除以2。
生:第三幅图是一个五边形,通过数方格的方法,我知道面积是2。这个五边形的边上有7个钉子,里面有1个钉子,它的面积也正好等于边上的钉子数除以2。
生:我发现多边形的面积=边上的钉子数÷2,多边形的面积和里面的钉子数无关。
师:如果用S表示多边形的面积,用n表示边上的钉子数,你会用字母表示多边形的面积与钉子数之间的关系吗?
师:看来,多边形的面积似乎真的与多边形里面的钉子数无关。大家认为这个结论一定正确吗?
生:我觉得仅仅根据这3个图形就得出“多边形的面积=边上的钉子数÷2,多边形的面积与多边形里面的钉子数无关”,好像不太可靠。万一其他多边形的面积不是这样呢?
师:的确,仅凭几个例子就得出这样的结论是不够严谨的。我们不妨把这一结论当作一个猜想,既然是猜想,我们还得——
2. 再探规律:多边形内有2个钉子
师:你有没有想过这是为什么呢?比较一下这两组图形,你又有什么发现?
生:我发现多边形内的钉子数变了。刚才发现的规律适用于多边形内只有1个钉子的情况,如果多边形内的钉子数不是1,这个规律就行不通了。
师:看来,我们刚才的发现S=n÷2是有前提条件的,什么样的多边形的面积等于边上的钉子数除以2?(板书:a=1,a表示多边形内的钉子数)
师:将a=1、a=2两种情况放在一起仔细观察,有联系吗?
生:我发现“a=1时,S=n÷2”可以看成“a=1时,S=n÷2+0”,这两种情况都是先把“边上的钉子数÷2”,再加一个比里面的钉子数少1的数,也就是S=n÷2+(a-1)。
3. 三探规律:多边形内有n个钉子
师:真好!请看刚才我们的发现:a=1时,S=n÷2+0;a=2时,S=n÷2+1。你还能想到什么?
生:多边形内有3个钉子时,多边形的面积=边上的钉子数除以2再加2。(板书:a=3,S=n÷2+2)
生:多边形内有4个钉子时,多边形的面积=边上的钉子数除以2再加3。(板书:a=4,S=n)
生:多边形内有0个钉子时,多边形的面积=边上的钉子数除以2再减1。(板书:a=0,S=n÷2-1)
生:他考虑到了特殊情况,这样才可能保证规律更严谨。
生:我觉得可以画几个里面分别有3个、4个、5个、0个钉子的多边形试试。
师:好,设计出你最感兴趣的图形,用合适的方法试着验证。
设计4个图形,使图形里面分别有3个、4个、5个、0个钉子,算一算面积,数一数钉子数并填在下表中。
生:(指图形(1),图略)我画的是一个长方形,这个长方形的边上有12个钉子,里面有3个钉子,所以它的面积是12÷2+3-1=8。
师:还有谁也是这样验证的?(大约有6个孩子举起了手)有不同的想法吗?
生:我觉得这种方法根本不算验证,她直接利用刚才猜想的公式去计算出这个图形的面积,这就意味着已经认定刚才的猜想是正确的!那还验证什么?
生:我们验证的目的是为了看多边形的面积是不是可以通过边上的钉子数、里面的钉子数计算出来。这位同学直接用猜想的公式计算出面积是8平方厘米,至于这个图形的实际面积是不是8平方厘米,她连算都没算。这不是验证,这叫不负责任。
师:很高兴听到了不同的声音!如果是你,你会怎么做?
生:我会先用“长×宽”计算出这个长方形的面积,然后数出边上的钉子数、里面的钉子数,再用我们刚才猜想的规律算出这个长方形的面积,最后看看两次算出的面积是不是相等。
生:我同意第二种验证方法。既然要验证,就应该从不同的途径、用不同的方法得出各自的结论,再看看两个结论是不是一致。如果一致,就说明猜想正确;如果不一致,就说明猜想不正确。
曾经,在太多太多的课堂上,我们让学生猜想、让学生验证、让学生汇报结论,学生似乎也举例了、观察了、比较了、总结了。然而,如你所见,“验证”有了,“路径”却是错的!
因此,在我们抱怨学生“不会学习”“不会研究”“人云亦云”的同时,是不是也该静心反思:学生“徒有形式”的“验证”,缘起何处?学生进行了怎样的验证?学生呈现的数据又是怎样得出的?换言之,验证究竟该建立在怎样的基础之上?什么才是验证的有效策略?
猜想是人们在面对新知识、新问题时,凭借已有材料和知识经验,形成符合一定规律和事实的猜测,是解决问题的重要方法之一。但由于猜想往往是通过举例、观察、实验等直观而不严谨的方法得出的,导致有的猜想是正确的,有的猜想却是错误的,因此猜想之后还需验证,验证于猜想是不可或缺的。
事实上,多年的学习经验已经告诉学生,验证只是课堂上的一个环节,验证的猜想一定是对的,教师根本不会在意验证的过程,所谓验证只是走走过场而已。究其原因,是教师没有让学生认识到验证的意义和价值。
验证,语出汉代王充《论衡·奇怪》:“言之有头足,故人信其说;明事以验证,故人然其文。”在数学中,验证是基于一定的数学事实,用数学的方式,通过一定的路径寻求猜测正确与否的理由,对猜想正确与否给予证实,进而形成结论的过程。
本节课,教师引导学生进行了三次猜想,三次猜想的依据有所不同:“钉子板上多边形的面积和钉子数有关”,是依据本节课的课题提出来的;“钉子板上多边形的面积=边上的钉子数÷2,多边形的面积和里面的钉子数无关”,是依据对研究材料(一)中三个图形的研究结果提出的;“多边形的面积等于边上的钉子数除以2再加里面的钉子数减1”,是依据对多边形内有1个、2个钉子的研究得出的结论类推出的。同样都是猜想,但有的猜想是正确的,有的却不正确。这就需要验证,以鉴别真伪,形成规律性的认识。这个过程可以加深对所涉知识的理解,使所学知识系统化;验证过程中每一步有理有据的推理,有助于训练和培养严谨的逻辑思维能力;验证过程中所采用的研究方法,对数学素养的培养和数学能力的发展是有益的。因此,教师不能因为“先知”猜想是正确的或不正确的、担心验证麻烦又耗时而对验证过程草草进行、匆匆而过,而应该鼓励学生大胆设计、小心求证,实事求是地作出结论。
数学验证不仅仅在于猜想本身被证明与否,也是学生对知识综合运用、发现、还原与重组的过程,更是培养学生理性精神的重要途径。所以,切不可让验证飘忽而过。
那么,怎样让学生经历验证过程,深刻体验并从中感悟数学思想和方法呢?
首先,验证前要让学生有自己的独立思考:验证什么?怎样验证?
以第三个猜想为例,在验证之前,学生必须明确:验证什么——多边形的面积等于边上的钉子数除以2再加里面的钉子数减1;怎样验证——画出里面有3个、4个、5个、0个钉子的多边形,计算出多边形的面积,然后数出多边形边上的钉子数、里面的钉子数,利用猜想的规律计算多边形的面积,最后看两种方法得出的面积是否相等。
只有学生对学习有了深刻的理解和思考,验证才能方向正确,才能更明晰、更积极、更科学。
其次,让学生充分经历、体验、内化,让学习在真探究中深入。
本节课对三次猜想的验证采用了不同的方法:举例(正例与反例)、看图与计算、设计与计算,凸显了验证的基本方法和策略。尤其是第三次验证,当有孩子依猜想进行了循环验证时,教师及时捕捉到这个问题,适时点拨与引导学生进行分析辩论,不仅在一波三折中激发了学生的探究意识,还在思辨中明晰验证的途径、方法,体会验证的方法和过程必须是科学的、严谨的。而这一切,关乎知识的习得、方法的生成,更关乎学生对于如何从事数学研究的思考,有助于形成严谨的科学态度。
纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。验证,赋予猜想有力的支撑,赋予学生无限发展的可能。那么,就让验证在课堂上扎实前行吧!
李邦前 :(2019-12-22 19:48)
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