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——列方程(组)解应用题讲究循序渐进
梁修宗
(合肥市肥西县刘河初级中学,电子信箱:398459056@)
摘 要:本文主要介绍笔者在10多年的数学教学工作中总结出来关于列方程(组)解应用题的方法和策略。文中对如何使用表格法列方程(组)做了相应的说明,并附有几道例题加以解释,期望更多的学生能将列表格应用到列方程(组)解应用题中去。
关键词:方程(组),等量关系,表格法
引 言
从事初中数学教学十余载,我在教学实践中发现,列方程(组)解应用题无疑是教学内容中的一个重点,更是难点。对于绝大多数学生来说,当他们把题目阅读了两遍甚至更多遍后,大脑仍然一片空白、束手无策,久而久之便产生了一种畏惧心理。究竟问题出在哪里?我反复思考得出这样三个方面:首先,是学生对本题中涉及到的几个量之间的关系不理解;其次,学生没有从题中的关键字、词、句提炼出等量关系;最后,学生不能将文字性的等量关系转化成方程。在整个初中数学教学内容中涉及到方程(组)应用的有一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元二次方程的应用,从内容梯度上说也是逐渐加大难度。笔者将围绕这几个知识点结合多年教学中积累的一些解决应用题的方法、策略分别针对上面的原因举例并加以说明。
一、 列方程(组)解应用题的一般步骤
1.明确问题中涉及到的量
初中阶段列方程解应用题基本题型上可归纳为以下几类:行程问题、工程问题、利润问题、储蓄问题、劳力分配问题、比例问题、形(积)问题……不难发现每种问题都会涉及至少三个量之间的关系,而绝大多数应用题一般都涉及三个量。作为教师,当学生将一道应用题阅读完以后,至少我们应该引导他们发现该问题属于哪一种类型?该种类型问题涉及到哪几个量?这几个量存在怎样的关系?从而确定解决问题的方向是正确的。
2.“觅”等量关系
学生的阅读能力在解应用题时又一次得以体现,阅读能力强的同学往往能抓住题中的一些关键字、词、句从而准确地找到等量关系。例如:“多”、“少”、“提前”、“相差”、“共计”、“完成”……除此以外,我们还应该注意题中一些具有目的性的语句,这些语句通常也是我们寻找等量关系的依据。等量关系有“显性等量关系”和“隐性等量关系”之分,第一种等量关系学生读题后很容在大脑中呈现,方程也就随之而来。但隐性等量关系不易找,这时我们借助下面第三步的表格往往事半功倍。之后,我们可以将寻找到的等量关系形成文字性的方程,为接下来列方程做好准备.
3.将文字性的等量关系转化成方程
前面的两个步骤主要是为第三步做好准备,这个过程也是列方程解应用题的关键。具体分为以下几个步骤:
(1)依据题意设未知数
我们知道设未知数有间接设和直接设两种方法。当题中关系能明显表示出所求未知量时,可以采用直接设未知数的方法,即题中求什么设什么,这是列方程(组)解应用题一种最常用的方法;当直接设未知数列方程(组)或解方程(组)感到困难时,可以采用间接设法,这种方法特点是先将所设未知数求出来,然后通过题意再将题中所求未知量求出来。两种方法各有弊、利,具体问题具体对待。
(2)设计表格并将表格中的量用含未知数的代数式表示
将事先得出三个量作为表头,另外再加以分类。接下来就是把数据、代数式分别填写在表格中,通常有一组量是题中已给的数据,第二组量是所设的未知数,第三组则是含未知数的代数式,这是该过程中最难的一个环节。学生需要思考如何用含未知数的代数式去表示另一个量,无形中给学生提供了思维的顺序,帮助学生理清思路。
(3)结合表格并参考文字性的方程形成数字方程
这一步是收尾工作,也是初见成效的过程,既可以说是水到渠成也是重中之重,将表格中的相关信息和之前所形成的文字性的方程相结合得出数字方程或方程组。这样列方程(组)解应用题最重要的过程便完成了,余下的解方程、验根、答只需小心谨慎便可大功告成。
二、 例题解析
以下将围绕上面的三个方面即:明确问题中涉及到的量;寻等量关系;将文字性方程转化成方程,通过几道例题加以说明。在例题的分析过程中笔者只介绍如何列出方程(组),余下的过程在这里将会省略。
1.行程问题(一元一次方程)
例1:甲、乙两地相距1500千米,两辆汽车同时从两地相向而行,其中吉普车每小时行60千米,是客车速度的倍.若吉普车先开40分钟,那么客车开出多少小时后两车相遇?
(1)涉及到的量:(路程、速度、时间)
路程=速度×时间、速度=路程÷时间、时间=路程÷速度.
(2)等量关系:吉普车路程+客车路程=1500
(3)设未知数并设计表格:由吉普车每小时行60千米得①;吉普车速度是客车的倍得②;设:客车行驶x小时后两车相遇得③;吉普车先开40分钟得④;依据:路程=速度×时间 得⑤、⑥
表1
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路程(km)
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时间(h)
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速度(km/h)
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吉普车
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⑤ 60(x+)
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④ x+
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①60
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客车
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⑥(60÷)x
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③ x
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②60÷
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(5)得出方程:60(x+)+(60÷)x=1500.
2.工程问题(二元一次方程组)
例2:三河镇为了打造风光带,将一段长为360m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成,公用时20天,已知甲工程队每天整治24m,乙工程队每天整治16m.求甲、乙两个工程队整治河道分别用了多长时间?
(1)涉及到的量:(工作量、工作效率、工作时间)
工作量=工作效率×时间、工作效率=工作量÷时间、时间=工作量÷工作效率.
(2)等量关系1:甲工程队时间+乙工程队时间=20;
等量关系2:甲工程队工作量+乙工程队工作量=360.
(3)设未知数并设计表格:甲工程队每天整治24m得①;乙工程队每天整治16m得②;设:甲工程队整理河道用时x天得③;乙工程队整理河道用时x天得④;依据:工作量=工作效率×工作时间 得⑤、⑥
表2
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工作量
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工作时间
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工作效率
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甲工程队
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⑤ 24x
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③x
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① 24
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乙工程队
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⑥ 16y
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④y
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② 16
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合计
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360
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20
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(4)得出方程组: x+y=20
24x+16y=360
3.营销问题(分式方程)
例3:某进货员发现一种应季衬衫,预计能畅销,他用8000元购进一批衬衫,很快销售一空.当他再进货时,发现这种衬衫的单价比上一次贵了4元/件,他用17600元购进2倍于第一次进货量的这种衬衫.问第一次购进多少件衬衫?
(1)涉及到的量:(进货量、单价、总价)
总价=进货量×单价、进货量=总价÷单价、单价=总价÷进货量.
(2)等量关系:第二次单价-第一次单价=4;
(3)设未知数并设计表格:他用8000元购进一批衬衫得①;他用17600元购进2倍于第一次进货量的这种衬衫得②;设:第一次购进衬衫x件得③;乙工程队整理河道用时x天得④;依据:单价=总价÷进货量 得⑤、⑥
表3
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进货量
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总价
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单价
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第一次
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③ x
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① 8000
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⑤
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第二次
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④ 2x
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② 17600
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⑤
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(4)得出方程:
4.综合性问题(一元二次方程)
例4:某磷肥厂去年4月份生产磷肥500t;因管理不善,5月份的磷肥产量减少了10%;从6月份起强化了管理,产量逐月上升,7月份产量达到648t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率.
(1) 涉及到的量:(月初产量、增长率、月底产量)
月底产量=月初产量×(1±增长率).
(2)等量关系:5月份产量=4月份产量(1-10%);
5月份产量(1+增长率)²=648t
(3)去年4月份生产磷肥500t得①;5月份的磷肥产量减少了10%得②;设:6、7月份的平均增长率为x,从6月份起强化了管理,产量逐月上升得③、④.
表4
月份
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4
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5
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6
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7
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产量
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①500
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②500(1-10%)
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③ 500(1-10%)(1+x)
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④ 500(1-10%)(1+x)²
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(4)得出方程:500(1-10%)(1+x)²=648
三、 小结与分析
通过上面的几道例题不难发现,当我们列出表格后,方程(组)自然水到渠成,仔细推敲,列表格也是有一定规律可循。通常表格的横排可设定为该题涉及到的几个量,竖排可设定为类别。接下来便是填充表格,一般地,表中有一组量是可以从题中寻找并直接填入表格的;另一组量则是我们所设的未知数;最后一组则是含未知数的代数式——用表格把各分量的数量关系从文字中抽象出来。表格填写完整后,依据等量关系便可列出方程(组),应用题的难点也就突破了。
还处在学生时代时,列方程解应用题对于我来说就是一个很头痛的问题。然而为人师,树其表,当我踏上讲台的那一刻起便知道不能误人子弟。从事初中数学教学十余载,我也在应用题方面不断的探索规律,寻找解决问题的好方法,但毕竟缺乏教学经验,始终不能在头脑中形成一种解题模式。于是乎,我也在百度中搜索诸如此类的问题“如何列方程解应用题”,“列方程解应用题的好方法”……。直到一天我在百度中搜到了河南省驿城区老河乡中学梁作印老师的一篇文章《列表法解应用题》,以及来自于《中学教学参考·理科版》2013年第04期梁常新老师的文章《巧用列表法解应用题》,这两篇文章对我的触动很大。说来也巧,这两位老师与我应是本家,他们在文中提出的解应用题的方法、技巧对我的教学生涯帮助很大,当然,受益最大的应该是学生。自此,在课堂上处理应用题问题上我便不断带领学生们尝试通过列出表格从而列出方程,久而久之也发现其中的些许规律。绝大多数学生在列方程解应用题这一类型的题目中也很少再出现头脑空白、不知所措的情况。
教无定律,解无定法,每个人都有一个属于自己解题的方法,孰能生巧。对于解同一类问题的时候我们要善于不断的尝试、发现多种解题方法,从而比较得出最简便、最适合自己的一套解题秘诀。对于教师,我们在长时间总结发现的过程中提高自己教学经验、能力,但最终还是要受用于学生。
参考文献
文章类
[1] 梁常新:《巧用列表法解应用题》,《中学教学参考·理科版》2013年第04期。
[2] 唐钧:《数学应用题表格分析法例谈》,《读写算:教育教学研究》 2014 (23)
网络文章类
[3] 梁作印:《列表法解应用题》,道客巴巴.
[4] 颜庭飞:《浅谈列方程解七年级数学应用题的有效教学方法》,豆丁网.