例谈几何画板在初中数学教学中的应用
左敏
(合肥市庐江实验中学,qingliu001@ )
摘要:几何画板是初中数学教学中常用的工具软件, 它具备强大的优点,其作图、变换、动画与度量计算等功能十分强大,同时具备交互与即时性,能够动态演示图形的变化、运动等情形。几何画板能够让学生更直观地观察图形间的关系,更深刻地理解数学概念、性质等知识,能够切实提高执教者课堂教学效率。
关键词:几何画板 旋转 反射 度量 追踪轨迹 动画
引言:几何画板很突出的特点是“动态性”:操作者用鼠标拖动图形上的某一对象(点、线、圆等),但是先给出的几何关系(即图形的基本性质)都保持不变,这样更有利于把握图形动态中的不变,把握动态中的实质,突破了传统教学的难点。几何画板从某种程度上改变了传统数学课堂上一直粉笔一块黑板的教学模式。下面笔者结合平时教学实践谈一谈初中数学教学中几何画板几个应用。
1.变换功能
.旋转变换
案例1 人教2013版教材第63页实验与探究第1个小实验:如图1,正方形ABCD的两条对角线交于点 O,点O是另一个正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等。不论正方形A1B1C1O绕点 O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,都等于一个正方形面积的。想一想,这是为什么。
图1 图2 图3
教师提前作如下设计:画正方形ABCD,两条对角线交于点O,以O为圆心,AD长为半径,构造圆O,在圆上构造任一动点A1,构造边长为OA1的正方形A1B1C1O,分别交正方形ABCD的某两边于E,F, 拖动A1 ,A1始终在圆O上运动,此时正方形A1B1C1O绕点O旋转0°至360°内的任意角度。构造两个正方形的重叠部分。
课上执教者邀请学生代表上台拖动A1,学生观察旋转过程,并思考在不同的位置,是否有全等三角形,能否利用“割补”思想将重叠部分转化为易求的图形面积。事实上,在旋转过程中始终能找到全等三角形,如正方形A1B1C1O旋转到如图4位置时,易证△ODF≌△OCE , 重叠部分四边形OECF的面积转化为等腰Rt△OCD的面积, 旋转到如图5位置时有△OBE≌△OCF ,重叠部分四边形OEBF的面积转化为等腰直角△OBC的面积,两个等腰直角三角形的面积均为正方形面积的。在演示过程中,几何画板可以很好地克服传统教学的局限性,动态展示旋转过程,辅助学生更好地理解“变中不变”的思想,培养学生动态思维。
反射变换
案例2 如图4,矩形ABCD中,AB= ,BC=7,点E 是边BC上的动点,将△ABE沿直线AE 折叠,B点落在F点处,直线BF与边AD相交于点 G,当△AFG为等腰三角形时,则线段BE的长度为?
图4 图5
本题教师所授两个班级很多学生都只做出一个答案,只想到利用题中给出的图形解答,极个别学生做全对。本题涉及到折叠,属于压轴题,有较大难度,学生审题要把握好关键词直线BF,所以需要分类讨论。笔者利用几何画板反射变换做好课件,在讲授本题时,动态演示,引导学生分类讨论解决问题。
如图5,鼠标拖动E点,F点的位置不断变化,学生发现当E离B更近时,F在矩形内,△AFG为等腰三角形时,AF=GF;当E离C更近时,F在矩形AD边上方,△AFG为等腰三角形时,AG=GF。
2.度量功能
案例3 验证圆周角定理
如图6,圆O中,A是动点,劣弧BC所对的圆心角是∠BOC,圆周角是∠BAC,度量∠BOC,∠BAC的大小,设置动画按钮“运动点”。作如下演示(1)点击“运动点”,A点在优弧上运动,∠BOC,∠BAC大小不变,且始终有∠BAC=∠BOC,或者鼠标拖动A;(2)停止动画按钮,拖动C点,∠BOC,∠BAC大小均变化,但是始终有∠BAC=∠BOC。借助借助几何画板直观演示同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系,让学生感受猜想的正确性,同时通过改变圆弧大小,让学生感受同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半,当弧大小不变时,弧所对的圆心角大小不变,弧所对的圆周角有无数个,但是大小同样不变。这样的演示有效地突破了传统的教学工具所不具备的形象直观性,提高课堂效率,学生体验结论的合理性,为接下来的证明过程提供思考方向。
图6
3.追踪轨迹功能
案例4 研究二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
笔者讲授本节课时,以y=x2为例,学生列表描点连线。由于条件限制,师生一般只能列几个代表性的点,然后连线进而大致画出该函数图象。作为二次函数图象的起始课,学生对二次函数的图象认知几乎为空白,因此这种传统教学方式局限性很明显。笔者在课堂巡视中发现有学生因为选点,描点原因,将图象连成直线。笔者认为,在学生自己动手画图象后,教师借助几何画板的追踪轨迹功能可以较好地帮助学生认知y=ax2(a≠0)的图象。可作如下设计:
(1)在几何画板界面中调出飞狐直角坐标系,建立参数a,初始值,在横轴上任取一点C,度量其横坐标,计算,再绘制点,如图7。选中该点,追踪绘制的点,拖动C,即出现如图8所示的图象。如果反复左右拖动C,则越来越接近“连续的曲线”。(2)改变参数a的值,如,等得到不同的曲线。由此很自然地引入抛物线的概念,同时为后续进一步研究函数图象和性质作铺垫。
图7 图8
4.综合利用几何画板的多种功能探究压轴题
案例5 (17年广西贵港第11题)如图9,在中, ,将绕顶点逆时针旋转得到是的中点,是的中点,连接,若,则线段的最大值是?
教师几何画板作图10,为了演示更清晰,将BC设置为原单位长度的2倍,利用画板度量功能,度量PM的长度,制作画板的动画按钮,点击动画按钮,“move”在移动,绕C点逆时针旋转0°至360°,在转动过程中,学生观察到PM的长度先增大再减小,引导学生思考,为什么会出现这种情况?启发学生连接PC,度量PC,CM的长度,计算PC+CM的长度,学生再观察旋转过程以及PM,PC+CM的长度。学生发现除了当P,M,C 三点共线时,PM=PC+CM ,当P,M,C 三点不共线时,旋转到任一位置均有PM小于
PC+CM的长度。进一步引导学生思考,你能说明为什么呢?如图11,图12。
当P,M,C 三点不共线时,线段CM,PC,PM能构成一个三角形,由三角形的边角关系知PM<PC+CM,当P,M,C 三点共线时,PM=PC+CM,即有PM≤PC+CM(P,M,C 三点共线时,“=”成立)。
线段最值问题一直是学生学习数学的难点。几何画板动态演示线段值变化过程,学生受强烈的动态图形触动,认真观察变化,积极思考。学生多经历几次这样的探究过程,能顺利解决线段最值问题。
图9
图10
图11
图12
案例6(18年安徽第10题)如图,直线l1、l2均与直线l垂直,M,N分别为垂足,MN=1,正方形ABCD的边长为,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处,将正方形沿l向右平移,直到A点与N点重合为止,记C点平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为( )
学生解决本题困难之处在于:不会画出不同阶段的示意图,尤其是第二阶段的图形。教师做好画板课件,设置动画按钮“演示”,“复位”, 点击“演示”, 图中正方形ABCD自动沿l向右平移,至A点与N点重合为止,点击“复位”, 正方形ABCD返回到初始位置。也可以手动操作,用鼠标拖动C点至不同的位置。
教师引导学生独立思考,尝试自己画图。在学生经历探索过程后,教师动态演示正方形平移过程,如图13,图14,图15;图16平移结束,点A与点N重合,演示过程形象直观,能有效帮助学生克服思维上的困难,利于学生分析解题思路。同时借助追踪功能,运动过程结束,图象示意图也完整地呈现出来。
图13
图14
图15
图16
结语:
“图形给人带来的是直觉,几何直觉是增进对数学理解非常有效的途径,对空间与图形的认识和研究,是形成空间观念的重要途径。”[4]几何画板给学生提供了这种机会。
常规工具(如直尺、圆规、纸和笔等)画出的是静态图形,但是用几何画板可以画出动态图形,并且可以保持设定的几何关系不变,从而为教师和学生提供了在动态中探究数学规律的工具。初中数学课堂中应用几何画板进行辅助教学,不但能培养学生数学动态思维,而且学生在经历整个学习过程后,更学到了一种研究问题的方法。尽管学生在考场中没有几何画板,但是经过画板教学的熏陶,“心中有画板”。需要注意的是,虽然几何画板在教学中有巨大的
优势,但是它不能代替学生的思维,演示观察到的现象也不能代替严谨的证明。正如章建跃博士所言,无数次数学实验验证成功,也无法替代一次严谨的几何证明。几何画板只能辅助教学。
[1] 邵新虎.利用几何画板探究数学解题模型[M] 北京:北京师范大学出版社,2017
[2]周杨.圆周角定理证明[J] .中学数学教学参考(中旬),2019(9):21-22.
[3]史承灼.汪琴.浅谈几何画板在初中数学教学中的应用[J].教育文汇,2019(1):36-37.