基于知识发生过程的复数概念教学

合 肥 十 中

蒋 菊 霞

摘  要：知识发生过程教学是指教师引导学生去揭示、感悟知识发生的前提和来龙去脉。它强化课堂教学中学生的主体地位，从而有利于遏止灌输式数学概念的教学。本文结合复数概念的教学，谈谈基于知识发生过程的数学概念教学的实践与体会。

关键词：数系的扩充、知识发生过程、复数、概念教学

引  言

美国著名教育家和心理学家布鲁纳认为：“我们教一门科目，不是建造有关这门科目的一个图书馆，而是使学生亲自进行像一名数学家思考数学，像一名史学家思考史学那样，使知识的获得过程体现出来”。而在我国，长期以来，数学教学只重视灌输知识的结论，而忽视知识的发生过程，不以学生已掌握的知识作为基础去引导学生观察思考，不重视教学方法的探索，不注意教学过程中的情感体验等。结果导致学生对知识概念理解不透彻，掌握不到位，从而影响了课堂教学效率。因此，探究知识发生过程的教学对提高数学课堂效率具有现实意义。笔者以《数系的扩充与复数的概念》中复数概念教学为例，浅谈基于知识发生过程教学的实践与体会。

一、创设情境，引发认知冲突

知识发生过程教学是指：教师通过教学来引导学生去揭示或感受知识发生的前提或原因、知识概括或扩充的经过以及向前拓展的方向。简单地讲，就是再现知识的来龙去脉，从而揭示知识的本质、顺序与联系[[1]]。那么，“复数”的来源是什么？纵观历史，可以发现很多数学家都为虚数的发展做出了重要贡献。在授课时，笔者援引16世纪意大利数学家卡尔丹曾遇到的一个问题：将10分成两部分，使得两者的乘积等于40，则两数为多少？

学生自然地想到：设一部分为x，则另一部分为10-x，将问题等价于解方程x（10-x）=40，即。但很快就会发现该方程对应的=-60<0，所以这个方程在实数集中无解。从而产生认知冲突，激起学习新知的欲望。

笔者指出：数学大师卡尔丹认为把答案写成 5+和5-就可以满足要求。那么，大师为何要把答案写成这种形式？表示又什么意义？它是数吗？如果是，又是什么样的数呢？本节课，我们就来研究这个问题——数系的扩充与复数的概念。

这样的设计，避免了将知识直接呈现给学生，而是通过引起学生的兴趣，让学生参与到数学概念的发生和发展的过程中去，让学生体验和感悟数学概念的生成过程。

二、追溯历史，感悟数学来源于生活实践

知识发生过程教学一般要回答：“知识从何而来？怎么来？向何处去?”等问题。那么，为何要对数系进行扩充，又如何扩充？笔者先带领学生追溯数系扩充的历史：

图1

从数的发展过程看，数是客观存在的，它既是发现的，也是发明的，它是人类智慧的结晶——每当人类遇到不能解决的问题时，就很聪明地想到引入新数，将原数集进行扩充。

通过观察和总结数系的扩充历史，让学生反复感受：一、数系的每一次扩充都是社会生活发展的需要；二、数系的每一次扩充都是为了解决原数集中不能解决的问题；三、数系的每一次扩充都引入了新的数。这样，一来，可以为即将引入新数i做好铺垫，二来可以让学生感受数学来源于生活、应用于生活。

三、追溯历史，感悟数学自身发展

知识发生过程教学的一个显著特征就是向学生揭示或者让学生去亲身体验知识发生的全过程，即在把握知识顺序的过程中获取知识[[2]]。为了让学生体验和感受“复数”的引入来源于数学内部的发展，笔者设计了以下三个问题，启发学生思考如何改变未知数x所属于的集合，使得方程有解：

问题1：解方程：

问题2：解方程：

问题3：解方程：     ？

这个设计，在让学生感受了数系扩充也是数学自身发展的需要的同时，也帮助学生进一步理解了数系扩充的所遵循的原则和特点。事实上，通过类比和猜想，学生很容易就想到了如何解决问题3——引入新数，对实数集进行扩充。从而很自然地理解了 “复数”缘何而来，源自何处？

四、引进新数，建构概念；动手实践，感悟新数

引进新数，引进什么样的新数？学生此时还很困惑，笔者提醒：要解决上述问题，就是要解决-1开平方的问题，不仅-1不能开平方，任何一个负数在实数集中都不能开平方，由于任何一个负数都可以表示成一个正数乘以-1的形式，而在实数集中，正数开平方的问题已经得到解决。因此，要解决负数开平方的问题，只要解决-1开平方的问题。

那么怎么解决-1开平方的问题呢？笔者提醒学生：我们前面总结的数系每次扩充都有何特点？学生很容易就想到要引入一个新数，让它的平方等于-1。那么这个新数叫什么名字？又该怎么表示呢？学生畅所欲言，课堂氛围活跃。笔者揭示：早在1777年，双目失明的瑞士数学家欧拉就想到要引入一个新数来表示-1的平方根。并且，他还想到用i来表示这个新数，i被叫做“虚数单位”。

一个新数的引入，通常都会伴有相应的四则运算。引入新数i后，笔者让学生自己动手解决卡尔丹的问题，得出两数分别为：5+i和5-i。这里的5+i和5-i是实数与i进行运算所得的数。那么其他实数与i进行四则运算，还会产生哪些数呢？在此，笔者引导学生大胆猜想并写出实数与i进行四则运算的可能结果：

（1）实数与i进行加法运算：2+i，-1+i, 0+i，……

（2）实数与i进行乘法运算：2i，-3i，0i，……

（3）实数与i先乘后加运算：2+3i，-1-2i，1+0i，……

（4）实数与i先加后乘运算：(2+i)ⅹ3，(-1+i)ⅹ0，……

笔者通过引导启发，让学生小组合作交流，尝试将以上结果概括成统一的形式：

（1）实数与i进行加法运算：2+i，-1+i, 0+i，……

（2）实数与i进行乘法运算: 0+2i，0-3i，0+0i，……

（3）实数与i先乘后加运算：2+3i，-1-2i，1+0i，……

（4）实数与i先加后乘运算：(2+i)ⅹ3=6+3i，(-1+i)ⅹ0=0+0i，……

通过以上的总结概括，学生很容易发现：实数与i进行四则运算的结果都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，从而得出复数的概念：我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R）其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。这一表示形式称为复数的代数形式。全体复数组成的集合叫做复数集。

这样的设计，让学生亲身经历了复数概念的形成过程，让学生感受了从个别到一般、从具体到抽象的思维过程，从而培养了他们观察、分析和解决问题的能力，语言表达能力和团队合作能力。

五、合作讨论，体验感悟复数的本质

事实证明：学生对复数概念、复数的代数形式理解不到位，经常容易在虚部的概念上出错。因此，在教学中要注意强化实部与虚部的概念，注意多举例说明。因此，笔者设计了以下两个例题，帮助学生熟悉复数的本质。

例1.        指出下列复数的实部和虚部：

4，2-3i，5i+，-6i，0，i，2+

例1刚一呈现，很多同学就迫不及待地抢答，但结果却没有想象中的理想：有的同学是看错了，而有的同学则认为复数的虚部是bi。在此，笔者再次强调复数的代数形式：复数的实部和虚部都是实数。

通过例1，学生对复数的代数形式有了更加深刻的认识。笔者进一步提问：我们可以看到这些复数从形式上看各有特点，你能抓住这些特征将其分类吗？对于这个问题，笔者让学生分小组合作讨论。学生讨论得比较热烈，大部分同学都可以将这些数分为两类或是三类，这样就自然分出了实数、虚数（纯虚数）的概念。

图2

例2. 实数m分别取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

例2的设计，一方面，通过分析复数的实部和虚部、对复数进行分类，加深对复数代数形式的认识，让学生体会复数和实数的区别与联系，感受新旧知识之间的联系，帮助学生在原有的实数的认知基础上建构对复数概念的认知；另一方面，例2的设计，也是为探究复数相等的充要条件做好铺垫。

六、变式训练，探究复数相等的充要条件

通过对例2 进行变式：“本题中如果z是（4）z=0；（5）z=6+2i，求m的值。”和进一步追问：你能从变式问题的解答中概括出两个复数相等需要满足的条件吗？探究复数相等的充要条件。因为有了前面复数代数形式的基础，学生很容易就解决了变式训练，并且总结出来复数相等的充要条件。即实部和实部相等，虚部和虚部相等。然后，笔者设计例3加以强化训练：

例3. 已知复数z=(x+y)+(x-2y)i,复数z=(2x－5)+(3x+y)i ,若z= z ,求实数x 、y的值。

至此，在笔者的带领下，学生亲身经历了复数概念的发生发展的全过程。通过学生的课堂表现和课后练习的效果来看，学生理解掌握得比较理想。

本节课，复数概念的引入、负数可以开平方完全颠覆了学生对数的认知，学生很难理解。因此，笔者没有采用传统的灌输式的教学模式，将知识直接告知学生，而是采用基于知识发生过程的教学，让学生感受知识的来龙去脉，亲身经历、参与并体验了知识的发生和发展：先给学生呈现数学大师卡尔丹曾遇到的问题，激发学生的认知冲突，激起学生学习兴趣。再与学生共同回顾了数系扩充的历史，让学生感受到：随着社会生活发展的需要和数学自身发展的需要，数系是在不断扩充的。并且，让学生总结出数系的每次扩充都引入新数等特点。然后通过巧设问题串，让学生认识到要解决这个方程，就要对实数集进行扩充，就要引入新数。再通过学生自主合作探究实数与虚数进行四则运算的结果，总结概括出复数的代数形式，通过例题让学生感悟复数的本质及复数相等的充要条件。这样，步步为营，层层深入，带领学生亲身经历了复数概念的发生发展的全过程。

通过本节课的设计和教学实践，笔者深刻感受到：基于知识发生过程的教学，一方面，可以让学生通过亲身体验，感受知识的发生和发展的过程，让学生对知识理解得更透彻，掌握得更灵活，记忆得更长久，从而使用得更得心应手；另一方面，在让学生获取知识的同时，受到数学思维的锻炼和数学文化的熏陶。

但这种教学方式，首先，需要教师耐心地备课、耐心地上课、耐心地引导和等待学生遵循知识的发生规律感受知识的发生；其次，需要教师揭示知识的来源——来源于生产、生活实际还是数学自身（原有概念的缺陷）；再次，需要教师准备相关材料或通过问题设疑、点拨、搭桥、引路，让学生主动发现知识和归纳知识；最后，需要教师精选例题来帮助学生巩固知识，理解知识本质和发展知识。

最后，希望我们广大一线教师可以多些耐心，多尝试更有效的教学方式、方法，来帮助我们的学生更幸福地学习数学。

参考文献