摘  要：在探讨除法的竖式计算过程中，教师经常会遇到一些生成性的问题，学生往往会有一些“奇思妙想”的错误方法，深度分析学生的错误成因和存在的困难，灵活运用教学策略，从而提高学生对除法竖式计算的认同感和认知度。

关键词：除法  竖式  计算  错误成因  教学策略

引  言：在学生的经验系统中，除法竖式计算的书写格式与加法、减法和乘法的竖式完全不同，学生受表内除法求商的竖式负迁移的影响，在进行竖式笔算时，往往会出现一些共同性的错误，由此引发了我对除法竖式计算教学时产生了一些思考。

一、不能正确书写除法竖式的原因

在数学教学各类比赛活动中，我听了很多老师上的《分桃子》一课，这是北师大版三年级数学下册的“两位数除以一位数”的新授课，在这之前，学生已经在二年级上册学习了“表内除法—用乘法口诀求商”，下册学习了“表内除法—除法竖式及有余数的除法”，在三年级上册又学习了“口算除法—两位数除以一位数”。而本节课主要是让学生探索“两位数除以一位数”的非表内除法竖式计算。教学活动中，学生在探究68÷2的除法竖式时，老师分给每个活动小组68根小棒（6捆加8根）代表桃子，让同学们平均分给2只猴子。学生通过动手操作，得到每只猴子分到34个桃子，即3捆加4根。当老师让学生用竖式计算68÷2时，大部分的学生都写出了相同的算式（图1）。这个现象引起了我的思考：学生为什么会写出如此一致的竖式呢？他们又是怎样思考出来的呢？  

图1                      图2

结合学生已有的知识经验，在二年级下册《分苹果》（表内除法—除法竖式）一课中，解决18÷6时（图2），是在学生口算得到商的基础上介绍除法竖式的，只要求学生初步认识除法竖式的书写形式。学生通过表内除法很快得到了商，却对竖式很难理解，主要困难存在两点：一是受到口算的影响，学生已经会熟练地进行口算，接受竖式的内驱力不强；二是竖式中出现了两个18，都表示同一堆苹果的数量，第一个18表示被除数，第二个18则表示3与6的积，学生尽管经历了动手操作和仿写，但多数学生都没有真正理解这两个18的含义，第二个18都是照抄下来的，而不是算出来的，学生就产生了错误的心理指向，认为除法竖式中的商和除数的乘积与被除数是一样的，只要照抄下来就行了。这样，先入为主就形成了错误除法竖式的路径，给三年级下册学习笔算除法竖式埋下了“祸根”。简单地说，主要是学生对笔算除法竖式的算理不关注，也就谈不上理解，只是停留在对竖式书写格式的记忆上，导致多数学生同时出现了像图1那样的竖式。再者，在计算68÷2时，十位上的6和个位上的8都能被2整除，从数的形式上，也为学生创造了书写图1竖式的机会。

思考：学生从口算除法过渡到笔算除法，有形式上的不同、运算方向上的不同和思考方式上的不同。教师应引导学生理解除法竖式的价值，理解“分”的过程，将“分的过程”与“除的步骤”相结合，理解每一步计算的结果是怎么得到的，沟通算理与算法之间的关系。

二、除法竖式难写的关键

1.除法竖式的书写形式和加、减、乘的竖式相比更具有独特性。在计算时，受到加、减、乘笔算格式的负迁移，学生要建构除法竖式的格式是很困难的。可很多老师都是直接把竖式介绍给学生，再让学生仿写，学生缺乏对竖式的理解，所以效果都不好。

2.除法竖式计算的过程比较复杂，具有综合性。从商、乘、减、比、落五个过程中，我们发现学生先用乘法口诀试商，算出商与乘数的积，减出剩下的余数，然后比较余数和除数的大小，再与落下的后一位数字组合，继续循环往复这样的计算。在试商时，学生要熟记乘法口诀，经常会有一部分学生因为乘法口诀不熟练，不能脱口而出，在笔算时，为了求一个商，就要把乘法口诀全部背诵一遍，这样不仅大大地影响了计算的速度，而且还会觉得除法麻烦、难做。由此可见，笔算除法是所有笔算学习中运用方式最多的一个，体现出计算的综合性，对学生的要求也比较高。

3.教师对除法竖式教学的重视力度不够。像教学68÷2时，学生已经通过口算知道了答案，这样就形成了先有了正确的结果再去探究计算算理过程，学生本身没有产生探究算理的内需，就无法积极地去理解除法竖式的含义了。再者就是老师在教学时也认为，只要把除法竖式的形式及注意事项教给学生就可以了，摆小棒的过程不重要，就把竖式的书写与分物的过程脱离开来。

4.学生对笔算除法竖式的算理不关注，只是停留在对书写格式的记忆上，导致在探究竖式计算方法时出现了思维偏差。

三、除法竖式的教学与领悟

在平时的教学中，对于除法竖式的书写格式，我们都会习以为常，很少有人会去思考68÷2整个除法竖式的真正含义，总会觉得原先学生已经学会了除法竖式，哪怕出现了很多学生把68÷2写成图1只分一次的形式，老师们总会想办法把学生只分一次的做法扭转过来，但是学生并没有真正的理解这个竖式的算理。因为除法竖式的运算形式表现为程序化，如果不理解其实质，紧靠死记硬背或机械的运算，把学生的运算技能和思考割裂开来，就很容易出现差错。所以在除法竖式的教学中，要让学生经历从实物操作到数学计算的过程，弄清“要分层书写”和“除到哪一位就商到哪一位”所蕴含的道理，领悟除法竖式计算的本质和规律。

案例：1.有68个桃子（6篮加8个），平均分给2只猴子，每只分到多少个？

师：我们用小棒代替桃子，你们每个活动小组有68根小棒（6捆加8根），请动手操作把它平均分给2只猴子。分完后告诉老师，你是分几步来完成的？每一步对应的算式是什么？

生：我是分两步完成的。第一步：把6捆（60根）平均分给2只猴子，每只3捆（30根），对应的算式是6÷2=3（捆），即60÷2=30（根）；第二步：把8根平均分给2只猴子，每只4根，对应的算式是8÷2=4（根）。最后得到的结果为：每只分到34（30+4=34）根。

师：很棒！如果让大家用除法竖式表示刚才分的过程，你会怎样表示呢？

师展示学生给出的3种表示方法（图3、图4、图5）。

图3                   图4                   图5

师：请同学们结合分小棒的过程，在小组内交流一下，看看哪个竖式最能清楚地记录平均分的过程？并说一说在除法竖式中每个数所表示的是什么意思？

生：我们认为图5的竖式最能清楚地记录平均分的过程。我们是分两次来分的，第一次：先分6捆，把6捆平均分成2份，每只猴子得到3捆，即3个十，3在竖式中就写在十位上。然后看整捆的小棒分完了没有，每只猴子分了3捆，2只共分了6捆，2×3=6，整捆的正好分完了，还剩下的8根就写在第二层。第二次：再分8根，把8根平均分成2份，每只猴子分到4根，即4个一，4就写在个位上。再看单根分完了没有，每只猴子分到4根，2只共分到8根，2×4=8，正好分完，没有剩余。最终得到结果就是30+4=34，即：每只猴子两次共分到34个桃子。所以，我们组认为图5竖式最能清楚地反映平均分的过程。

师：谁能说说除法竖式中各数所表示的含义吗？

师根据学生汇报板书：

图6

师：说的很好。我们从图6竖式中就能看出分的过程。大家还有没有其它的意见？

生：我们认为图4的竖式也能清楚地反映平均分的过程。只不过是把两次分的过程分开来写的。

师：很好。假如让你来列竖式，你会选择哪种竖式呢？

生：图5的竖式。

师：为什么？

生：因为它比图4的竖式更简洁、明了。

师：图3的竖式显得更简洁一些，我们可以选择吗？为什么？

生：不能选择。因为图3的竖式不能清楚地记录两次平均分的过程，不能清楚地表示第一次分后还有没有剩余。如果被除数大了就不容易看出商是多少了。

思考：从实物操作到竖式表达，帮助学生化解了认知中的困惑，沟通了除法竖式从直观到抽象的联系，理解了除法竖式表达的意思，为下一阶段的学习打下了基础。同时，让学生用自己的方法书写除法竖式，不但能培养数学表达与交流能力，还能培养学生创造能力。通过辨析，让学生领悟了图5除法竖式表达的简约性和计算方法的程序性，将正确的认知正向迁移到两位数除以一位数的计算中。

2.又来了1只猴子，68个桃子平均分给3只猴子，每只分到多少个？还剩多少个？

师：又该怎么分呢？请同学们继续用小棒代替桃子分一分，分完后告诉老师，你是分几步完成的？每一步对应的数学算式是什么？

生：我们还用刚才的方法来分两步完成的，只是第二次分剩下的8根没有分完，还剩余2根，有3只猴子无法再分了。

师：太棒了。请再用竖式来表示分的过程吧！说说竖式中的各数又表示什么含义？

学生汇报，师板书讲解。（如图7）

图7

思考：学生再次通过分物过程，进一步理解竖式中各数表示的含义，做到了数形结合。学生借助摆小棒，感受先分十位，后分个位的过程，把静态的竖式动态化，并通过归纳小结加深对除法竖式的进一步理解，体会到要从高位算起及数位对齐的道理，跨越了计算认知上的“坎”，从而拓宽笔算除法的思路和运用空间。

总之，作为学生学习的组织者、引导者与合作者，教师要以学生的数学创造为基础，引导学生领悟数学理论和方法的优越性、合理性，做到“跳出数学”教学，化抽象为具体，化无形为有形，更多地去了解学生探究活动的经验基础，为学生探究活动提供恰当的“材料”，让学生经历一个从具体—表象—抽象—符号化的过程，把客观现实中存在的失误和现象以及它们之间的相互关系，抽象概括为数学符号，这才是走出教学困境的有效途径。

参考文献：

[1]王光明,范文贵，«新编数学课程标准解析与教学指导»，北京：北京师范大学出版社，2012。