在一次公开课教学中,我上了《完全平方式》(沪科版七年级下8.3),采用“问题导入→观察几个同类多项式乘法运算→提炼概括规律→符号表示→形成公式→对比公式例题讲析→巩固练习”的教学思路,可是学生一练习,我就发现学生丢项(主要是2ab)、符号混乱等错误层出不穷,学生公式运用很不理想。在接下来的议课中,校内外的几十个数学老师对这节课作了中肯的评议,在此不作详述;可大家都认为:在运用完全平方式时,学生出现丢项、符号混乱等错误是普遍的,尤其是学生基础薄弱、学习能力较弱的学生,这一现象显得更为严重。宣州区教体局教研室董林主任作了指导性的点评:“完全平方式教学,一定要抓住公式的代数、几何本质意义以及平方和、和(差)平方关等键词,才有可能解决上述普遍错误!”。受益匪浅的同时,大家也在深深的思考着……
丢项、符号混乱等错误的普遍现象,引起了我校数学教师的高度关注与重视,首先我们去调查学生,了解她们在运用公式的困惑,深入剖析出错原因,发现学生对公式的深层次认知与理解都存在问题,于是我们数学组老师经过反复的探讨交流,设计解决问题的初始方案,方案由后续教学的老师付诸于教学实践,下面结合我校几位数学老师的课堂上的教学片段,阐述我们的主要思考和探讨。
一、利用错误案例,引导学生发现自己在知识理解过程中的错误,先行切断知识的生长点与新知识的非实质联系
为什么学生能把公式背的滚滚瓜乱熟,意义也能说的一字不差,却常常发生(a+b)2=a2+b2 、(a-b)2= a2-b2的错误?我们想是不是学生认为(a· b)2= a2· b2, 这样就很随意地写下了(a+b)2=a2+b2 、(a-b)2= a2-b2,经过调查许多学生,学生的回答验证了大家的猜想,这说明了学生利用形式规律上的相同,错误类比迁移影响了学生对公式本身的理解,学生的认知生长点就是(a· b)2= a2· b2,新旧知识之间建立联系的心理依据是形式规律,而这种形式联系是非实质的,实际上合理的生长点应该是x2的代数意义和几何意义,即:乘方意义和正方形面积。学生这种错误类比,一反映她们对(a·b)2= a2·b2的掌握比较扎实,二表明她们已经有了根据算式结构特征去大胆联想猜测的创新意识,从这些方面看显然是好事情;但如何能让她们对这种错误联系有着清醒的认识?怎样让意外的错误,更能激发她们探寻正确结论的热情,同时丰富她们认识理解(a+b)2=a2+2ab+b2、 (a-b)2= a2-2ab+b2的作为公式的合理性?
我首先尝试通过对错误进行辨析来弥补,结果表明,效果不佳!显然学生对知识的最初体验还是印象最深的。心理学研究表明,在知识学习之后的辨析,只能起到强化认知的效果,只有在知识学习之前的辨析,才能起到生成的作用。因此,考虑到先行切断错误的知识生长点与新知识的非实质联系,是否更利于新知识的构建和探究呢?接下来,昝洪赋老师就在一开始的问题引入中,尝试了下面的学习案例:小明是个勤于思考的学生,他发现(a·b)2= a2·b2 ,于是他猜想:(a+b)2=a2+b2、 (a-b)2= a2-b2,他的猜想对吗?请你用简单的方法加以验证。一部分学生直接采用了多项式乘法法则进行了运算,大部分学生通过对a、b取了不同的数值进行了检验,否定了猜想。这种调整是有效的,取得了比预期还要理想的效果,连那些平时比较粗心的学生对这种错误有了清醒的认识。让学生先对形式规律的类比产生猜想,再运算验证,体验错误,分清新知识的错误生长点,辨析新旧知识之间的非实质联系,切断它们之间的错误联系,不断可以为新知识的正确建构扫清 障碍,还能激发学生利用合理的知识生长点正确建构新知识的兴趣热情。
二、通过独立思考、合作交流,多途径获得公式、多角度理解公式,从形式与实质两方面去把握公式的运算规律
当学生发现(a+b)2=a2+b2是个错误后,为了帮助学生最终认知完全平方公式。昝老师又从公式检验、公式推导、数形结合、关键词等方面,强化学生对公式的理解,首先检验公式时,让学生把自己取的数值情况列成下表:
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a
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b
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2ab
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(a+b)2
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a2+b2
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和平方与平方和之差
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数值
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1
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2
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4
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9
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5
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4
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-3
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4
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-26
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1
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25
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-26
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学生从表中发现相应规律“差值恰好是两数积的二倍”后,加深了对所发现错误(缺2ab)的进一步理解;其次鼓励她们利用多项式乘法法则直接运算,通过符号运算进行理性推导,使学生理解了 2ab的合理性与必要性;昝老师再次启发学生a2、b2、(a+b)2能表示什么?学生说能表示正方形的面积,学生拿出事先准备好的图片,分组拼出课本上的图形,昝老师结合多媒体,把如下图形与公式进行对比,直观解释与验证公式,学生才深刻理解完全平方公式的右边必需是三项,2ab的意义才彻底明白。
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
当学生获得公式以后,昝教师又通过学生独立思考、合作交流等方式,对自己和他人在探究过程中的 (a+b)2、a2 +b2、2ab等“战果”细细玩味,说出公式中的关键词,从形式和实质去把握理解公式、概括公式的特征,即公式的实质意义:“两数和(差)的平方等于两数的平方和,加上(减去)这两个数的积的二倍”,形式变化特点:“二项式平方的结果是三项式(完全平方式)”、“两项同号时,积的二倍取正,异号时,积的二倍取负”。从学生课堂上的练习来看,效果甚佳。
三、观察公式结构特征,提炼口诀是加深理解公式的有效方法
在胡孝平老师的这节课中,当学生获得公式以后,他及时鼓励学生对公式的特点、意义和运用要领加以概括,胡老师进行了精心的准备与组织,他反复引导学生进行合作交流归纳概括,终于有学生把公式概括为口诀(进行适当修改):“和平方、差平方,前后两数都平方,积的二倍在中央!”把运用要领概括为“加减先定,两数认准;各自平方,乘积取双;乘积符号,左右相当;项有三项,不可遗忘”,把交叉项的符号确定方法概括为“同号(积的2倍)取正、异号(积的2倍)取负”, 这样既能提炼学生的概括能力,也能使她们的理解更加准确,应用更加灵活,其中体现的创新与智慧确实让人惊叹不已,感到高兴。
四、让反思贯穿数学学习活动的始终
为了促进学生的理解,刘成胜老师在教学过程的各个环节中,都有意识地引导学生进行反思,一开始,他通过学生对类比猜想的结果 (a+b)2=a2+b2、 (a-b)2= a2-b2进行反思验证,形成了“情理之中、意料之外”的认知冲突,明确了问题,激发了探究的热情;在找到结论以后,又通过对结果的价值进行反思,初步感受将结论化为公式的合理性;在运用公式解题的过程中,又及时反思要领,例如:他先给了学生下面一组练习:
例1 运用公式计算 (1)(2x+3)2 (2) (x-5)2 (3) (-2a-1)2
例2 下列算式正确吗?请你将错的加以改正
(1)(a+2)2=a2+2a+4 (2)(2a+1)2=4a2+1
(3)(2a-1)2=2a2-2a+1 (4)(a-2)2=a2-4a-4
当学生独立完成,同伴交叉评改以后,刘老师让学生谈谈解题心得,场面挺热闹:
生1:要认清a和b,只要先定加减就没问题!
生2:小心漏项,特别是中间积的2倍,漏的最容易
生3:乘积被平方时要注意添括号!我就错在(2a)2 中漏掉了括号
生4:注意符号,象(a-2)2=a2-4a-4那种在4的前面添加负号的错误,第三项一定为正
生5:我也是符号错误!象(-2a-1)2,我就算成了(-2a-1)2=(-2a)2-2×(-2a) ×(-1)+ (-1)2
生1:你那还没有认清a和b出的问题,定了“-”号为减,就不能把1前面的“-”号在看成负号了,一个符号不能两次用!
生6:在2ab中不能漏乘2!……
学生你一言,我一语,当刘老师建议学生把反思结果概括心得时,大家七嘴八舌,也就自然地得到了前面所提到的口诀。
在另一节课中,当学生对平方公式的掌握运用已经较为熟练后,王燕老师没有让反思结束,她让学生计算(-a-b)2、 (-a+b)2,然后把结果(-a-b)2=a2+2ab +b2、(-a+b)2= a2-2ab +b2与 (a+b)2=a2+2ab +b2、 (a-b)2= a2-2ab+ b2相比较,进一步引导学生发现符号变化规律,学生获得了处理的符号简化方法“同号(积的2倍)取正、异号(积的2倍)取负”,这类似有理数乘法符号处理方法,学生很容易理解掌握;王老师又进一步让学生反思前面解题过程,看其中的a、b所代表的意义,启发学生明确其中的a、b不仅可以代表具体的数,a、b还能代表式,接着让学生自己编写比较复杂的算式问题,同桌相互测试,于是学生开始自己尝试从项数、次数、符号三方面进行变式,编出了类似“(a+b+c)2、(y2-)2的好题,深化了认识,提高了问题转化、举一反三的能力,整个学习从反思中开始,在反思中结束。教学实践表明,效果相当理想。
议课以后的探讨和实践,实践证明学生能正确理解掌握公式,从学生的作业反馈来看,运用公式的正确率很高,达到了我们预期的教学效果。在后来教学完全平方公式,我校教师继续沿用“切断非实质联系、从形式与实质两方面去理解公式、提炼口诀、反思、对错误进行弥补”的教学思路和策略,教学效果都非常理想。这次议课以后的探讨,他给我们带来了很多很多……