巧找等量关系，灵活解方程
摘要：方程是小学数学知识的重要组成部分，用方程解决问题是学生逆向思维向顺向思维的一个巨大转变。纵观方程教学，不难发现，学生往往不愿意用方程来解决问题，其中一个重要原因是不习惯代数思维，不习惯将符号看成连接相等关系的纽带。方程刻画的是等量关系，如何找等量关系是用方程解决问题的关键所在。
关键词：用方程解决问题，等量关系，解题方法
方程是小学数学知识的重要组成部分，学习用方程解决问题是学生逆向思维向顺向思维的一个巨大转变。简易方程是小学生学习代数知识的开始，也是学习代数知识的重要内容。在未引入方程前，学生解决问题多采用“算术”法，即由两三个已知数值直接推导出未知的结果，而引入方程后，解题就根据给出的已知量和未知量，按照数学逻辑建立数量关系，然后列出方程，通过解方程从而解决实际问题。算术方法解决问题注重从已知开始，对推理的结果指向不明，特别是到初中，需要解决的问题越来越复杂，数量关系纵横交错，利用算术方法解决问题难度很大，而方程法成了解决问题的最基本方法。
方程教学的最重要目的是为了培养学生列方程解决问题的数学思维。小学阶段的方程学习是为了给他们日后解决更复杂的问题打好基础，因此不可忽视。事实上，纵观方程教学，不难发现，学生不喜欢且不用方程解决问题，他们更偏爱用算术法解决数学问题，不愿意用方程来解决问题，其中一个重要原因是不习惯代数思维，不习惯将符号看成连接相等关系的纽带。小学生从事新的学习时产生困难的一个很大原因，往往是学生头脑中尚未构建起与新的学习内容相匹配的认知图式或认知观念，“方程”知识在北师大版小学数学教材中是从四年级下册第五单元内容开始学习的，而学生从一年级开始，一直学习的是用算术法解决问题，算术法解决问题的思维方式已经先入为主形成定式，所以在教学中教师应当让学生认识到用方程解决的问题的优越性。
比如例题1：三个连续的奇数的和是219，最大的奇数是（ ），最小的奇数是（ ）。
这个题，如果不用方程的话，则是：先用219去减去6（后两个奇数与第一个奇数的差），然后再除以3，就得出最小的奇数是71，然后再用71加上4，就得出最后一个奇数是75。
如果用了方程，那就简单多了：
解：设第一个数是X，第二个数就是X+2，第三个数就是X+4 。 X+X+2+X+4=219 3X+6-6=219-6 3X=213 3X/3=213/3 X=71 X+4=71+4=75
一眼看上去是方程难，可实时计算起来就是算术方法难了。而且，方程是顺向思维，好理解。在算术方法里，多的就得减去，少的就得加上，可是在方程里面，是怎么着就是怎么着。
可见用方程解决的问题的简单性。方程刻画的是等量关系，如何找等量关系是用方程解决问题的关键所在。由于小学生的思维水平的影响，使得在学习列方程解决问题时总感觉方程比较难列，尤其是题目中出现较为复杂的数量关系时，很多学生更加困惑。所以，引导学生分析题目中的数量关系，列出等量关系式是成为用方程解决问题的一个关键所在。下面就在数学教学中，总结的一些找等量关系的方法与大家分享。
一、规则法
人们在认识世界时，发现各种事物内在联系的基础上，得出计算公式、公式、法则、原理、定律，把这些规则收集起来，根据这一关系就可以解决同类问题。（如：路程=速度×时间，工作总量=工作时间×工作效率，收入=节余+支出，体积=底面积×高、、、、、、）
例题2：用40米长的绳子围成一个长方形，长方形的宽是5米，长是多少米？设长为X米，可得等量关系式：（5+X）×2=40，从而求得长方形的长。
二、图示法
学生的认知结构是新知识的生长点，帮助学生建立起良好的认知结构是学生的基础。图示对认识结构具有积极的影响，能够帮助学生树立起良好的认知结构。比如，在数学中采用画线段图的形式来帮助学生分析数量关系，使问题更加明晰，并得以解决。
例题3：一养殖场里有鸡200只，鸭的只数为鸡的2倍，鹅的只数比鸭少60只，鹅有多少只？
鸡：
鸭：
鹅：
我们通过画线段图的方式，很清晰地看明白鸡、鸭、鹅三者的数量关系，从而得出它们之间的数量关系：
鸡的只数×2=鸭的只数
鸭的只数-60=鹅的只数
设鹅的只数为X，可得方程
60+X=200×2
三、从数学术语中巧找等量关系
在小学数学中，应用题的数量关系一般是和差的关系或倍数的关系，常用术语有“一共有、比......多、比......少、谁是谁的几倍”等来表示，在解题时抓住这些术语找出等量关系，列出等量关系式，问题就会迎刃而解。
例题4：在爱心捐款活动中，三年级学生一共捐了663元，是二年级捐款的4倍还多3元。二年级捐款多少元？---这一题的关键词是“谁是谁的几倍”，根据关键词我们就可以找出这样的等量关系：二年级捐款的钱数×4+3=663，设二年级捐款钱数为X，可列出方程4X+3=663，这样二年级捐款的钱数就会很容易求出来。
四、对情景中的等量关系进行翻译
寻找出情景中的等量关系，并将此关系“翻译”成方程，在此过程中要有两次转化：第一次，将情景中蕴涵的等量关系转化为“自然语言表达的等式”；第二次，将“自然语言表达的等式”用数学符号加以表达转化为方程。如：妈妈买了4瓶饮料和1袋饼干共花了11.4元，1袋饼干3.6元，1瓶饮料多少钱？
根据题意，可以提出一个思考的问题：你能发现数学问题吗？能用自然语言和符号加以表示吗？通过这种“翻译”就可以用方程把问题解决。
五、从关键句中找等量关系
例题5：星期天，妈妈上街买了一些水果，妈妈买了10个苹果，买苹果的个数是西瓜的3倍多1个，西瓜用多少个？
引导学生分析，找出题中的关键句：“抓住倍数找两种比较的量”，题目的关键句是“买苹果的个数是西瓜的3倍多1个”，关键句理解了，等量关系就有了：西瓜数×3+1=苹果数
又如例题6：小华今年比爸爸小24岁，爸爸的年龄正好是小华的3倍，小华和爸爸各几岁？
在此题中，“小华比爸爸小24岁”，是以爸爸的年龄为标准得出的结果；“爸爸的年龄正好是小华的3倍”，是以小华年龄为标准得出的结果；到底以谁的年龄为标准来设未知数呢？我们用“换标准”的方法来确定用谁更合适：小华比爸爸小24岁，可以说成：爸爸比小华大24岁，相差的年龄不变，这样等量的关系就出来了：
爸爸年龄-小华年龄=24岁
设小华年龄为X，则爸爸为3X
得方程：3X-X=24
当一个情景中既有“倍数”关系，又有“求和”或者“相差”关系时，通常把“和差”关系作为全题的等量关系式，倍数关系作为两个未知量之间的关系，用来设未知量，这样问题就会得到解决。
六、根据总量与分量的关系探求相等关系
例题7：要加工200各零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时，完成了任务。已知甲每小时比乙多加工2个零件，甲、乙每小时加工多少个零件？
分析：本题涉及工作效率、工作时间、工作总量这三个量，根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量”来列方程，设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工（x+2）个零件。根据等量关系，列得9（x+2）+4x=200。
七、抓住题目中的不变量揭示相等关系
例题8：小明要从甲村步行到乙村，如果他每小时走4千米，那么走到预定时间，离乙村还有0.5千米；如果他每小时走5千米，那么比预定时间少用半小时就可到达乙村。求预定时间是多少小时，甲村到乙村的路程是多少千米？
分析：本题中的不变量有两个，即甲村到乙村的路程与预定时间。若设预定时间为x小时，根据甲村到乙村的路程是定值，列得4x+0.5=5（x-0.5）；若设甲村到乙村的路程为x千米，根据预定时间是定值，列得（x-0.5）÷4=x÷5+0.5。
方程是刻画现实世界中数量关系的模型，引导学生逐渐体会到方程是解决问题的有效模型，有了这些找等量关系的累计，学生会越来越灵活地根据具体的问题情景，寻找相应的等量关系，并能举一反三，实现方法的多样化，这样才能突破用方程法解应用题的障碍，学生才会用方程法，而且乐于用方程法解决问题。但当然寻找等量关系不仅仅是以上几种，只要我们善于发现，善于钻研，善于总结，就会找到更多更好的解决方法。
参考文献：
【1】《课程标准案例式导读与学习内容要点》（小学数学）
【2】中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准
【3】浅谈数学方程教学的有效性
【4】对小学教学解方程教学的思考
