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重视数学思想 让学生终身受益
作者:邓福弟 发表时间:2015年04月27日 浏览量:78 分享到空间
——浅析小学数学教学中的化归思想及其解题策略
江燕祥(安徽省安庆市宿松县汇口中心小学)
摘 要:小学教育阶段最基本的数学思想方法是什么呢?分类思想、对应思想、统计思想等,究其目的都是为了完成促使新知在已有知识的基础上达到某种发展或重组,从而达到由未知向已知的转化。一、化归思想及其在小学数学学习中的意义;二、小学教育阶段化归思想下的数学问题解决策略。
关键词:化归思想 数学思想 课程标准 解题策略
日本著名数学教育家米山国藏[1]曾经说过:“作为知识的数学,出校门不到两年可能就忘了,唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等,这些都是随时随地发挥作用,使他们终身受益。”数学课程标准[2]中指出:“数学教学活动中,教师应帮助学生在自主探索与合作交流中真正理解和掌握基本的数学思想和方法,形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力创新精神,这也是新的数学课程标准提出的总体目标之一。”那么,小学教育阶段最基本的数学思想方法是什么呢?分类思想、对应思想、统计思想等,究其目的都是为了完成促使新知在已有知识的基础上达到某种发展或重组,从而达到由未知向已知的转化。因此,我们认为小学教育阶段最基本的数学思想方法是化归思想。
一、化归思想及其在小学数学学习中的意义
小学数学所涉及的是最基本的数学知识,内容较为简单,所以隐藏的思想和方法难截然分开。对于小学数学思想方法的研究,就是对小学数学知识有本质的认识,从方法论角度来研究小学数学中分析问题、思考问题的方法。
所谓化归,即是转化,而它较之转化又具有较强的目的性、方向性的特点,是用联系、运动、发展变化的观点来看待问题,把有待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或容易解决的问题,其实质就是对问题进行变形,促使矛盾转化。数学问题的解决都可归结为化归思想方法的应用,它是众多数学思想方法的核心。根据小学生的认知规律和年龄特点及数学学科自身的特点,无论从数学课程内容的展开,还是数学问题的编拟,都为化归思想方法的培养提供了丰富的材料,学生新知识的学习无不化归到已有的知识基础上获得。因此我们必须认识到小学教育阶段培养学生形成了化归意识,就为他们终身学习打下了良好的思维方法基础。而化归意识并不是教给学生一个模式就能解决问题,而是需要通过不断的渗透与长期的培养训练逐渐形成的。那么如何培养学生的化归思想,使学生逐步形成化归意识呢?
1.充分利用教材提供的丰富材料,使学生逐步形成运用化归思想探索、解决问题的意识,树立迎难而上、化难为易的数学精神
通分转化
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异分母分数加减法 同分母分取加减法,从而推导出异分母分数加减法的计算法则。
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因此,我们将化归思想贯穿于各类知识的教学中,融解在一节课教学的各个环节,有助于帮助学生逐步形成运用化归思想探索、解决问题的意识,树立迎难而上、化难为易的数学精神。
2.提供适当的问题,创设必要的活动,促使学生在问题解决中逐步掌握化归思想的解题策略
以“工程问题”教学为例,可在例题“要装修一批住房,甲队单独干需要15个月完成,乙队单独干需要10个月完成。两队合干需要几个月完成?”教学的基础上创设一组问题:
(1).打印一份书稿,小张独自打印需4小时,小王独自打印需5小时,小车独自打印需6小时。三人合打,几小时可打印完稿件的一半?
(2).一项工程由甲队单独做12天可以完成,已知乙队的工作效率是甲队的。如果由甲乙两队合作这项工程多少天可以完成?
(3).栽一批树苗,五六年级合作只需3天就可以完成,六年级单独干需要5天完成。如果五年级单独完成需要几天?
(4).一块布料,做同一规格的裤子可做10条,做同一规格的上衣可做15件。用这样的上衣和裤子配成一套服装,这块布料可做多少套?
(5).某工地工程废土场如不进行清理大约5小时废土场就装满废土,这些废土需3小时才能运完。现废土场已经装满,照这样的速度,如果不停工,几小时才能清理干净?
(6).李明从家去森林公园,坐汽车需要5小时才能到达。他先步行了的路途后才乘坐汽车,还要几小时才能到公园?
(7).加工一批零件,甲独干6小时完成,乙独干可比甲提前1小时完成。如果甲先干4小时,剩下的由乙完成,还要干几小时?
(8).一篇稿件需要打印,甲乙两位打字员分工合作。甲独打需10天,乙独打需15天。现在甲打字员先单独做若干天后,乙打字员再单独接着打,共用了天完成,你知道他们各打了多少天吗?
学生在此例学习过程的始终,通过个体研究与群体互助,在掌握例题的基础上解决教师为其精心创设的数学问题。在这样的数学活动中,学生不仅化归意识得到潜移默化的提高,更重要的是在问题解决中逐步掌握化归思想在问题解决中的解题策略,这正是笔者在本文中要阐述的下一个问题。
二、小学教育阶段化归思想下的数学问题解决策略
笔者认为小学教育阶段化归思想下的数学问题解决策略主要有以下几种。
策略一:模式建立——识别——遇新思陈
模式建立是指将解决过的问题在头脑中形成新的认知结构。模式识别就是把要解决的问题比照以前已经解决过的问题,设法将新问题的分析研究纳入已有的认知结构或模式中来,把陌生的问题通过适当的变更,化归为熟悉的问题加以解决,因此,“模式建立——识别——遇新思陈”的策略其目的就是为了达到以旧换新,变生为熟。
在数学思维活动中,学生通过数学学习以掌握基本的数学知识,并逐步形成数学思维的一些基本模式,再以这些知识与模式为基础去解决数学问题,从而就丰富和扩展了原有的模式系列,并在新的层次上进一步深入的学习和进行新的问题解决。如前面工程问题的例题及其解决,就属于工程问题的基本思维模式,其他扩展问题都是在基本模式基础上得以解决的,这样就丰富并扩展了原有模式,在新层次上使新的复杂的问题得以解决。
在小学数学教学中,让学生必须掌握的基本思维模式是很少的。若学生具有化归意识,在“遇新思陈”这一解题策略下使新问题化归为基本模式得以解决,会使学生感受到知识的纵横联系,减少为应付考试死记题型的负担。例如下面一组题:
(1).周长问题:中心小学长方形操场的长和宽相差80米,某同学沿操场边跑了3圈,共2400米。操场的长和宽各多少米?
(2).年龄问题:今年小明8岁,爸爸正好40岁。在父子二人年龄和是68岁那一年,他们各多少岁?
(3).平均数问题:幼儿园大班有男女生各10名,在“摘桃子”游戏中平均每人摘12个桃,已知男生平均每人比女生多摘4个,男生平均每人可摘桃多少个?女生平均每人摘桃多少个?
图1
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经过认真分析、识别,上述例题均可化归为和差问题进行解决。
再如,求图中阴影部分的面积。
解此题需要学生分析识别后,在头脑中把图形分割后重新组合,使其化归为基本图形并予以解决。
S阴影 =+- 或S阴影 =(-)×2
可见,所谓基本思维模式题型才应是我们所说的典型问题,它是问题解决中概括出来的最基本的问题。在问题解决中,学生需具有创造性思维能力,将问题进行模式识别,从而将遇到的新问题化归为基本问题予以解决。
数学问题中的基本思维模式题型当然是我们熟悉的,然而面对一个新的问题,并不是都将其退回到基本状态,而是转化到由基本思维问题发展而来的我们熟悉的已经解决过的问题,即“丰富并扩展了原有模式系列”。这是我们最常使用的解题策略。
策略二:探究规律——发现——先退后进
小学数学规律性知识的探讨主要采用直观归纳的思想方法。通过对某类事物中的若干特殊情形的观察、实验、猜测、验证而得出一般性的结论,从而获得问题的解决。义务教育课程标准实验教科书在一、二年级的教材中就已经设立了诸如“找规律”这样的教学内容,目的就是为了培养学生这方面的能力。许多复杂问题常常都是从简单的问题出发探寻出问题解决方法的。
例l 用1平方分米的花方砖与素方砖摆成大正方形装饰墙面,要求摆出的大正方形四周都是花砖,中间都是素砖。当素砖比花砖多时,至少多少平方分米的墙面被盖住了?
这是一道复杂的小学六年级的探究规律题。应把它化归到最简情形“中间素砖摆1块”出发,探寻中间素砖与四周花砖面积有何关系。
图形:
图4
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图3
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图2
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中间素砖面积(S1):(1) 1×1 ; (2) 2×2;(3) 3×3.
四周花砖面积(S2):(1). [(1+2)+1)×2;(2). [(2+2)+2)×2;(3) .[(3+2)+3)×2.
Sl与S2关系: (1). Sl
通过观察、实验、猜测、验证而得出一般性的结论:中间素砖面积为n×n时,四周花砖面积为[(n+2)+n) ×2,于是,当n=4时,Sl=4×4=16,S2=[(4+2)+4]X2=20,则Sl
探索归纳最常见的形式是通过先退后进的策略,把要解决的问题从一般退到特殊,从抽象退到具体,从复杂退到简单,从整体退到部分,退到保持特征的最简单情形,探寻问题规律,从而解决问题。这就是化归思想中的将问题归结为较易解决或简单的问题。小学生数学学习中常用此策略获得公式、法则等规律性知识。
策略三:数形结合——直观——化难为易
数与形是事物的数学特征的两个相互联系的侧面。在小学生数学学习过程中常采用数形结合的方法使其加深对知识或方法的理解,开拓思路,将问题化难为易、化繁为简,化隐为显。
图5
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通过线段图将题目中的隐性条件“中点”外显出来,并清楚的反映出所求距离即是180千米的(-),使问题得以解答。
小学数学大多数问题借助线段图的帮助可以得到很好的解决,数形结合使得求解过程简洁、直观,从而达到化难为易的目的。
总之,在小学数学教学中只要我们努力去挖掘数学思想和方法,创造并把握运用数学思想方法解决问题的机会,主动培养学生运用数学思想方法的意识,就一定能提高学生的数学能力、数学素养,优化学生的数学思想,树立数学精神,促进学生全面发展,使学生终身受益。
参考文献:
1. 米山国藏.《数学的精神、思想和方法》.四川:四川教育出版社,1986年.
2. 《全日制义务教育•数学课程标准》. 北京师范大学出版社,2001.
3. 李放《渗透数学化归思想提高问题解决能力》.《新课程研究:教师教育》2010年 第6期.
4. 陶金瑞 霍凤芹《浅谈数学思想方法——化归与转化 》《成都大学学报(教育科学版)》 2007年08期
5. 余霞辉《数学化归思想方法的教学策略》 .《陕西教育(行政版)》 2007年06期