一个有趣的结论
——一道竞赛题的推广
安徽省明光市第三中学 魏秀银(239400)
题目:(第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷(初一组))如图所示,在四边形中,四边形的面积分别记为,求的值.
解 连接,设则再设则有,因此
反思:本题的解题思路是——通过添加辅助线构造三角形,把四边形问题转化为三角形的问题加以解决,所依据的原理是“同高的三角形面积之比等于它们底的比”.解完本题后,笔者并没有罢手,而是进一步思考:如果把一组对边分别五等分、七等分,…,会有怎样的结果?其中隐含着怎样的规律呢?为此,笔者进行了进一步的探究.
拓展:如下图,在四边形中,
四边形的面积分别为,连接,设
则再设
则有
类似地,笔者又研究了七等分、九等分的情况,结果分别为
,
于是笔者得出结论:把一个凸四边形的一组对边分别(为正整数)等分,依次连接对应分点得个四边形,设它们的面积分别为,则有
这个结论的有趣之处在于:表示所有面积序号为偶数的四边形的个数,表示所有面积序号为奇数的四边形的个数,且
恰为等分数.
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