证明两直线垂直的一个常用方法
安徽省明光市第三中学 魏秀银(239400)
证明两直线垂直是初中平面几何中一种常见的题型.涉及的方法主要有定义法、全等法、勾股定理的逆定理等.最近笔者在研究试题时,发现不少证明两直线垂直的问题都会用到一个有效的模型,下面笔者把它整理出来.先看一个具体问题.
题1 如图1,ABCD是正方形,在AD、AC上分别取点E、F使EF=DF.求证:EF=BF且EF⊥BF.
思路:由已知条件易知△ABF≌△ADF,从而BF=DF,因为EF=DF,所以EF=BF.∵△ABF≌△ADF,∴∠ABF=∠ADF,∵EF=DF,∴∠DEF=∠ADF,∴∠ABF=∠DEF∵∠DEF+∠AEF=180°∴∠ABF+∠AEF=180°,又∠DAB=90°,∴∠EFB=90°即EF⊥BF.
实际上,上题中在证明EF⊥BF时,用到了下面这个常用的有效模型:如图2,在四边形ABCD中,∠A=90°,∠B+∠D=180°,则∠A=90°.本结论证明很容易,但应用却十分广泛.下面再举两例.
题2 如图3,在△ABC中,∠A=90°,在AB、BC上向内各作正方形ABDE、BCFG,且GA的延长线与DC的延长线相交于H.求证:GH⊥DH.
思路:本题图形复杂,很难在较短时间内找出方法.但仔细观察图形会发现在四边形ABDH中,∠ABD=90°,如果能证明∠BAH+∠BDH=180°,运用上述模型即可证明GH⊥DH.
证明 在正方形ABDE和BCFG中,BC=BG,BD=BA,∠ABD=∠GBC=90°,∴∠ABD-∠ABC=∠GBC-∠ABC,即∠DBC=∠ABG,∴△BCD≌△BGA,∴∠BDC=∠BAG,∵
∠BAG+∠BAH=180°,∴∠BDH+∠BAH=180°,∴GH⊥DH.
题3 如图4,给定正方形ABCD,在边AB及对角线AC上分别取点P和Q,使得AP:PB=3:2,AQ:QC=4:1.试求△PQD的各内角.
思路:从本题的结论看,△PQD应该具有特殊的形状.从数学直观上猜想可能是PQ=DQ,∠PQD=90°,关键是如何说明理由的问题.由于∠DAP=90°,受上述模型的启发,可以先证明∠ADQ+∠APQ=180°.本题还有一个难点,就是如何使用两个比.
解 连接BQ,作QH⊥PB.
∵AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,∴△ADQ≌△ABQ,∴DQ=BQ,∠ADQ=∠ABQ,∵QH∥CB,∴,又AP:PB=3:2,∴PH=BH,∴PQ=BQ,∴PQ=DQ,∠QPB=∠PBQ,∴∠ADQ=∠QPB,∵∠QPB+∠APQ=180°,∴∠ADQ+∠APQ=180°,∵∠DAP=90°,∴∠DQP=90°,∴∠QDP=∠QPD=45°.
这里所说的模型还有一个重要性质,就是四个顶点共圆,它也是判定四点共圆的一个重要方法.事实上,当模型本身具备一定的条件或改变一些条件时,它还会具有一些特殊的性质,下面列举一组变式.
变式1 如图5,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,AC平分∠DAB,则有CD=CB,AB+AD=.
简证 作CE⊥AB,CF⊥AD.易知AECF为正方形,△CDF≌△CBE.从而CD=CB,BE=DF,因此AB+AD=AE+BE+AD=AE+AF=.
变式2 如图6,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AB>AD,CB=CD,则
∠D+∠B=180°.
简证 延长AD至E,使AE=AB.
∵∠BAC=∠EAC,AC=AC,∴△ABC≌△AEC,∴CE=CB, ∠B=∠E,∵CB=CD,∴CE=CD,∴∠E=∠CDE,∵∠CDE+∠ADC=180°,∴∠B+∠ADC=180°.
变式3 如图7,在四边形ABCD中,∠DAB=120°,AC平分∠DAB,AD>AB,∠D+∠B=180°,则CD=CB,AB+AD=AC.
简证 延长AB至E,使AE=AC,连接CE.
∵∠BAC=60°,∴CA=CE,∠E=∠DAC=60°,∵∠D+∠ABC=180°,∠CBE+∠ABC=
180°,∴∠D=∠CBE,∴△ACD≌△ECB,∴CB=CD,BE=AD,∴AB+AD=AB+BE=AE=AC.
几点感受:
(1)新课改已进行了十几个年头,应该说广大教师在教学教研方面积累了不少的经验,有不少地方都在积极探索新的教学模式,努力提高教学质量.但不容置疑的是仍然有一部分教师热衷于题海战术,把学生搞得身心疲惫却收效甚微.笔者认为一个很重要的原因是教师本人没有对试题进行深入的研究,总结提炼.在这种情况下,即使讲解再多的题目,做再多的试卷,也不能有效提高学生的解题能力.新时期在教师的角色定位中有一条叫研究者角色,这就要求我们广大数学教师在教学之余,应该坐下来认真搞研究,研究教材、研究学生、研究试题,同时努力挖掘试题中蕴含的通性通法,探求其中隐含的规律并在平时的教学中逐步渗透,长此以往,必定能提高学生的解题能力.
(2)笔者最近在研读一些教学文章时,发现不少老师提出关于数学美的问题,笔者在这里补充一条_____统一美.下面,笔者用一个图形概括一组变式的经典问题:如图8,在△ABC中,BP、CP是两个内角平分线,BQ、CR、CQ(CR、CQ是一组对顶角的平分线,正好成一直线)分别是三个外角∠CBD、∠ACF、∠BCE的平分线,那么有∠BPC=90°+∠A,∠Q=90°-∠A,∠R=∠A.这个图形的统一美表现在:同时包含三个结论.由“邻补角的平分线互相垂直”易知∠PBQ=∠PCQ=90°.因此∠BPC+∠Q=180°,∠Q+∠R=90°(这正是笔者统一图形的出发点).另外,四边形PBQC正是本文中的模型.
联系方式:
邮箱 mgsxzxwxy5650@;
电话 13855095650