贯穿于算理、算法和算律的三类计算

陈炜

（六安市金寨县泗河实验学校，303627573@）

【摘要】计算教学中要让学生理解算理、探寻算法和寻求合理简洁的运算途径以解决问题，不以技能的掌握作为唯一目标，既要重视学生掌握算法，形成技能，又要在感悟 算理、建立联系的过程中发展思维，提升能力，还要注意运算速度以及灵活性。教学中， 教师要充分理解计算教学的基本类型，上好算理型、算法型和算律型三类计算课，做到 “量体裁衣”，各有侧重。

【关键词】计算教学 基本类型 算理 算法 算律

计算是小学数学的基础内容。曹培英老师提出运算能力结构主要包括“基本口算、算法掌握、算理理解、运算策略”四方面，说明“算理、算法、算律”是数学运算能力形成的重要基础。算理的理解与算法的掌握是学生运算能力的基础，而算律是算法的灵活运用，是算法 的“窍门”。在算理理解的基础上构建算法，在熟练算法的基础上掌握算律，三者相辅相成， 不可偏废。在计算教学中，算理、算法和算律要做到相互融合，随着知识的推进螺旋式上升。

算理教学要从运算意义开始，在意义支持下理解运算的合理性；算法教学要依托算理， 在算理支持下理解运算的合法性；算律教学要基于算法，在算法支持下理解运算的合规性。下面就以北师大版教材为例，谈谈如何在计算教学中充分上好算理、算法和算律取向的三类计算课。

一、以意明理，让算理型计算课丰厚起来

小学数学计算教学中往往会以口算或简单计算作为引路课，这些课内容比较简单，从技能发展的角度看，学生都有比较好的掌握。因为内容简单，所以教师往往上得也很“ 简单”，不会花大量时间展开“说理”。其实，这类课恰巧是“讲理”的课，也就是感知算理，为后续笔算算法做铺垫。算理是计算的理论依据， 其内涵包括数与运算的意义、运算律和运算性质，是解决“为什么这样算”的问题，为计算提供正确、可靠的思维依据。算理型计算课不宜追求“快节奏”，而应实施“慢拍子”教学，让“简单”的算理课“丰厚”起来。教师要善于选择多种教学方式，用好实物原型（人民币、小棒、计数器等）和直观模型（数线、点子图、列表等），促进学生理解算理。

【案例1】两位数乘一位数（口算乘法）

1.创设情境，提出问题

（1）问题：每个游泳圈 12 元，买 3 个游泳圈需要多少元？

学生独立思考，尝试列式并计算结果，同桌交流。

算出12×3 的得数并不困难，根据已有的知识经验学生会用“12+12+12”，部分学生会用 “2×3=6，10×3=30，6+30=36”，甚至有学生能够直接列竖式计算。但学生对其算理的理解是模糊的。这就需要利用一些直观模型来明确计算的意义，理解乘法的算理。

1.探究新知，理解算理

活动一：摆一摆，说一说，借助人民币理解算理

学生表述算理：算式“2×3=6，10×3=30，6+ 30=36”表示3 个10 元加上3 个2 元，合起来就是 36 元。随着学生的回答，课件动态呈现（图1）。

图1

活动二：想一想，画一画，利用点子图说明算理

初步理解12×3 的算理后，让学生进一步思考：借助人民币理解了12×3 的乘法意义和计算方法，那么12×3 在点子图上该怎么表示呢？看一看淘气是如何计算的。（图2）

        图2

学生独立观察，同伴之间说一说对这种算法的理解。然后指名看图说算理：淘气把点子图从中间平均分成两份，先算左边3×6=18，再算右边3×6=18，然后算18+18=36。

让学生试着在自己的点子图上圈一圈，全班汇报交流。

活动三：议一议，比一比，运用表格强化算理

（1）出示图3，你能看懂笑笑的算法吗？

图3

（2）提问：表格中的每个数据表示什么？

比较表格方法（图3）和口算方法（图1）的相同之处。

两位数乘一位数口算课类似乘法计算的种子课，案例中，教师为学生充分创设“经历” 场。抓住“运算意义”这个核心问题进行讨论和研究，人民币说理、点子图说理、表格说理等活动，让学生对12×3=36 有了多种思考，明白了计算的道理，为笔算方法的建立及多位数乘法作了有效铺垫。

二、以理驭法，让算法型计算课丰润起来

若计算教学离开了理解，单纯训练学生掌握算法，则学生充其量只是获得了一种操作技能。作为教师，要梳理小学阶段各种运算的算理，特别是梳理学生常见的方法背后是否蕴含着算理。

对算理不清楚，知识迁移的范围就极为有限，无法适应计算中千变万化的各种具体情况。在教学中，既要重视算法的教学，还要引导学生理解算法背后的道理，要通过多种形式让学生弄清算理，在理解算理的基础上掌握运算方法。计算教学中要启发学生“循理入法， 以理驭法”，通过道理引路让法则的建立有根基，通过算理支持让枯燥的算法丰润起来。

【案例2】两位数乘一位数（笔算乘法）

教师出示“蚂蚁做操”情境图（图4），鼓励学生独立观察，说说情境图中有哪些数学信息，根据信息提出用乘法计算的问题。

图4

学生根据情境图提出“一共有多少只小蚂蚁”的问题，列出算式12×4。给学生提供12×4 的点子图，提出学习要求：在点子图和表格上圈一圈，算一算，填一填，并尝试写出计算过程；独立思考后小组交流，并准备全班汇报。

因为学生已经有用点子图进行计算的经验，所以能很快按要求完成任务。小组交流后，全班分享。

生1：我把点子图分成两部分，上面这部分每行12 只蚂蚁，有2 行（图5），2 行就是12×2= 24,再算24+24=48，得出一共有48 只蚂蚁。

图5

生2：把点子图分成左右两部分（图6），一部分是每行10 个，圈这样的4 行，就是10 个4，

列式10×4=40；另一部分是每行2 个，圈这样的 4 行，就是2 个4，列式2×4=8；再把两部分加起来，列式40+8=48。

图6

生3：我是用列表法做的。（图7）

图7

师：你觉得他们的方法怎么样？

生4：生2 的方法挺好的，让我清楚了口算的道理。

生 5：生 2 的方法很清楚，把 12 分成了 10和2，再分别去乘4。

生6：生2 的方法和列表格的意思是一样的。

……

引入点子图、表格等直观模型的价值就在于：把静态的知识激活，学生研究两位数乘一位数的计算方法有了抓手，不知不觉地走进去，乐此不疲地研究乘法的知识。运用直观模型便于学生理解乘法的意义和算理，在此基础上，在拆分、圈画中清晰简洁地反映不同的算法。

在学生清楚地解释和理解两位数乘一位数的算理后，让学生独立列竖式计算，并解释自己的竖式。

学生大致出现三种算法：

重点分析方法②和方法③。

生：解方法②）先用4×2=8，再用10×4= 40，然后把这两部分相加就是48。

生：方法②与前面生 2（图 6）的方法是一样的。

生：是一样的，一种是圈点子图，一种是用竖式计算。这两种方法和列表格的意思也是一样的。

师：谁能结合图6 和图7，说说竖式计算中方法②每一步表示的意思？

学生讲解，教师边板书，边连线。（图8）

图8

让学生体会乘法竖式与点子图、表格方法之间的内在联系，理解 8、40、48 的含义。至此，学生已经明晰了乘法竖式中每一步的含义，实现了算理直观和算法抽象的有效结合， 方法③的写法也就功到自然成了。本节课是学习笔算乘法的基础，有了本课

的学习经验，在后面的两位数乘一位数学习中，教师可以引导学生先自己总结算法，再与标准的计算法则作对照，体会怎样表达更确切、更完整。概括计算学习中的法则，本身就是一种学习过程、一种思维活动。数学与数学学习都不可能“去结论”。课堂上提倡突出思维和探究过程，重视学生的个性化表达，与抽象并概括结论、结语并不矛盾。

三、以法见律，让算律型计算课丰满起来

小学数学中的运算律主要是加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律。为什么要学习运算律？史宁中教授指出：经过几千年对加法运算的使用，人们最终希望能够给出严格的表述，这就需要建立在符号意义上的运算律。从数学本身的逻辑出发，概括出运算律可以方便看出计算的合理性。比如，13×16=13×6+13×10，竖式计算也是采用这样的计算方法，而这种计算方法就联系着乘法分配律。

基于以上认识，运算律是计算本身发展的必然需要，是基本运算在算法执行中产生的简约规则。为此，运算律教学需要在运算意义支持下基于算法去建立认知。教师在实际教学中却习惯于从情境出发，只关注运算律的外在形式，缺乏与算法的主动沟通。所以，运算律教学需要立足算法，拓宽运算律的形成渠道， 让这样的计算课丰满起来。

【案例3】乘法分配律

1.计算：看谁算得又对又快。

7×9+3×9 16×7+14×7 79×5+21×5

以第1 题为例，学生在计算时会出现两种算法，一种是按照先乘除后加减的运算顺序来计算，即7×9+3×9=63+27=90。还有一种是按 照“几个几加几个几等于共有几个几”的意义理解来计算，即7×9+3×9=10×9=90。

2.讨论：为什么可以改变运算顺序？

教师有意识地引导学生，在学习乘法分配律时，唤起已有的乘法意义学习经验，不仅从数据入手，还应抓住算式结构的特征展开教学。

比如，在学习笔算乘法的时候，我们采用两种不同的计算方法（图 9），无论是“14×2= 28，14×10=140，28+140=168”，还是用竖式计

算，其实质都是在利用乘法分配律。在计算

14×12 时，把12 分成10 和2，10 个14 和2 个14合在一起就是12 个14，用等式表示出来就是 14×12=14×10+14×2。

图9

再如，学习长方形周长的时候（图10），把 2 个长和2 个宽相加，或者先把1 个长和1 个宽相加，再乘2，意义是一样的。用等式表示出来是5×2+3×2=（5+3）×2，这也是乘法分配律。

图10

3.归纳：这样的算式有什么特征？

运算特征：两个数（a 和b）的和与一个数（c） 相乘，等于把它们分别与这个数相乘，再相加。

数字特征：有一个相同的数（c）。字母表述：（a+b）×c=a×c+b×c。

本案例以计算情境引入，学生的思维与经验被激活且都指向运算方法。“又对又快”的挑战让学生主动观察算式特点并调取运算意义知识，尝试对算式进行处理而达到这一要求， 也就产生了“7×9+3×9=10×9”这样的新形态算式，这就是乘法分配律的模型，它是学生在主动求“变”中发现的，等式两部分的关联是紧密的。同时，求变过程中学生需要借助乘法意义来破解计算顺序问题，所以对分配律的“变形” 结构有积极的经验储备。

学生在基于原算法变换出新顺序后，自然产生了新的问题“为什么可以这样变化”，课堂顺利进入基于乘法意义去解读算法的思考中。同时，及时触发学生原有经验，如乘法竖式、口算、长方形周长计算等方法，让学生凭借经验中的算法来验证这种变换的合理性。这样的运算律教学有运算意义作支撑，更充分地基于算法，让运算律与运算更合理地结合在一 起，从而更好地触发学生应用运算律的意识， 提高对运算律的意义感知。在教学中要让学生体会到，算律是对算法的灵活运用，而灵活运用的依据是对运算意义的理解。

参考文献

[1]曹培英:：跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之六——运算能力[J]. 小学数学教师，2014（3）（4）.

[2]俞正强：运算律应该怎么教[J]. 中国教师, 2015（12）.

[3]乔姝.：透过现象把握本质[J]. 小学数学教师, 2012（4）.