一、设计思想
本节课是在将角的概念推广,以及引入弧度制后,将锐角三角函数推广为任意角的三角函数。任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系,由于平面直角坐标系是展现函数关系的载体,是构建数形结合的桥梁,因此借助平面直角坐标系,单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形定义了任意角三角函数,体现了数形结合的思想,并以此让学生加深对函数概念的理解。
在探究任意角三角函数的过程中通过创设情境,让学生产生认知的冲突,激发学生的求知欲望,引导学生积极参与,同时以问题为主线再现概念的形成过程,而在分析函数的对应关系时图文并茂,更加直观地揭示函数的本质。
本节课从情境中发现问题,通过对数学知识的研究之后,最终去解决问题,让学生切身感受到数学是源于生活又用于生活。
二、教学目标
知识与技能目标:①理解任意角的三角函数的定义;②能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数及任意角的三角函数;③知道三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系;④根据三角函数的定义,能够判断三角函数值的符号及求值。
过程与方法目标:①通过参与任意角三角函数的"发现"与"形成"的过程,体会函数模型及数形结合思想,培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力;②通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程,体会从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标:在探索任意角的三角函数的过程中,感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性,感悟数学的本质,培养追求真理的精神。
三、教学重点、难点
重点:任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
难点:用单位圆上的点的坐标刻画三角函数,理解三角函数就是实数与实数之间的一种对应。
四、教学手段
为了加强学生对三角函数定义的理解,帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍,本节课利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系,构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境,使学生能够更好地数形结合地进行思维。
五、教学过程设计
(一)创设情境,提出问题
我们在座的所有同学中没坐过摩天轮的请举手,如果有机会,你想不想体验一下,同学们纷纷举手(很好!)。(请看大屏幕)假如我们现在所看到的摩天轮的半径为10m,中心O离地面为20m,其以每秒1度的速度逆时针转动,现在让我们跟
着学生甲一起来到起点P处,请你们闭上你的眼睛,开始,30秒
后,停!现在请你们睁开你的眼睛,你已经到M处,你想知道你
现在距离地面的高度吗? (副板书)
想继续体验的同学请再次闭上你的眼睛,开始,()秒后,
停!现在请你们睁开你的眼睛,你已经到N处,请问你现在的高度?
由于此时的,我们是否还可以继续以同样的方式计算我们所
在的高度吗?
【设计意图】通过学生感兴趣的摩天轮这一情境,提出本节课要解决问题,让学生明确本课研究的目标是什么,同时也能培养学生的兴趣,让他们切身感受到数学就在我们的身边。
(二)复习旧知,探究新知
锐角三角函数的定义
当我们已经将角的概念推广到了任意角,引入弧度制后,任意角的三角函数该怎样定义呢?
问题1、能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数?
以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数.如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义,那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考:
问题2、将锐角的概念推广到任意角时,我们是把角放在哪里进行研究的?
进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数.
问题3、如图2,在平面直角坐标系中,如何定义任意角α的三角函数呢?
如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义,则可以作下列引导:
问题4、终边是OP的角一定是锐角吗?如果不是,能利用直角三角形的边长来定义吗?如图3,如果角α的终边不在第I象限又该怎么办?
问题5、我们知道,借助平面直角坐标系,就可以把几何问题代数化,比如把点用坐标表示,把线段的长用坐标算出来.我们还是回到锐角三角函数的问题上,大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢?(渗透数形结合的思想)
问题6、点P在终边上的位置是否会影响其中的比值?(利用几何画板动态演示如图4)如果不影响,有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点?(引入单位圆如图5)
【设计意图】让学生产生认知的冲突,从而激发学生求知的欲望,因为平面直角坐标系是展现函数关系的载体,是构建数形结合的桥梁。因此借助平面平面直角坐标系引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数。
三角函数中函数关系的探究
师生活动:(教师引导学生复习) 设A、B是两个非空数集,
按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,
在集合B中都有唯一确定的数和它对应,则称之为从集
合A到B的一个函数。(教师边复习边画图)
对于任意角α都有唯一的终边与之对应,终边确定,终边
与单位圆的交点就唯一确定,但不管是α终边还是点P,
它们都是图形,但不是数集,只能是映射,不能构成函数,于是继续寻找,交点确定,交点的纵坐标也就唯一确定。而引进弧度制后,,因此可以在角α与点P的纵坐标之
间建立一种函数关系,记为正弦函数。
(三)抽象归纳,形成概念
板书:正弦函数即: 同理余弦函数即: 正切函数即:
定义域:
问题7、上述三种函数的值在各象限的符号会怎样?
师生活动:由学生根据定义回答,教师整理。
【设计意图】引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上,进一步给出任意角三角函数的定义.让学生从中体会,用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式,还更能突出三角函数概念的本质。
学生口答:1、设是三角形的一个内角,在,,,中,有可能取负值的是 .
2、选择“”,“ ”,“=”填空:
; ; ; 。
(四)应用新知,变式巩固
例1:已知角α的终边经过点,求角α的正弦、余弦和正切值。
变式:求的正弦、余弦和正切值.
例2:已知角α的终边经过点P(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值。
练习:1、求的正弦、余弦和正切值.
2、已知角θ的终边经过点P(-12,5),求角θ的正弦、余弦和正切值。
方法总结:无论是给定角还是给出点的坐标首先确定终边与单位圆交点的坐标,再利用定义求出三角函数值。
解决引例中提出的问题: 经过150秒,那么你距离地面的高度
【设计意图】从最简单的问题入手,通过变式,让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题,进而加深对定义的理解,加强定义应用中与几何的联系,体会数形结合的思想.
五、反思总结,拓展延伸
你能不能归纳一下,今天我们学习了哪些内容,有哪些收获?
①任意角三角函数的概念形成及其中的函数关系的分析;
②三角函数的定义域和三角函数值在各象限的符号。
③体会其中的数形结合思想,体验由特殊到一般的探索过程。
【设计意图】在学生回顾与总结的基础上,教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想和体验探索数学问题的过程。
课外作业
教科书P.20习题1.2A组第1,2,3(1)、(3),4(1)、(3),5,6(1)、(2)、(3).
【设计意图】根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面,从教科书中选择作业题.试图通过作业,让学生进一步理解三角函数的概念,并从中评价学生对三角函数概念理解的情况.
六、板书设计
1.2.1任意角的三角函数
1、提出问题:如何计算秒后的高度?
2、函数概念的三个关键词:非空数集;任意性;唯一性
3、定义:正弦函数即:
余弦函数即:
正切函数即:
5、应用举例 例1,例2
6、解决问题:当
7、小结
七、教学反思
1、本节课通过学生感兴趣的摩天轮提出问题,最终解决问题,增加了数学课堂的趣味性,同时让学生真正体会到数学就在我们的生活中,在整个过程中学生表现出了浓厚的探究知识的兴趣。
2、新课程标准中对知识的发生、发展过程提出了较高的要求,多次使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感,态度与价值观的行为动词,重视学生对问题的探究能力。因此本节课强调过程教学,启发思维,极力调动学生学习数学的积极性,让学生真正参与其中,使学生不仅知其然,而且还知其所以然。
3、说到数学,“多做题目”似乎是学生学好数学的代名词,很多学生缺乏反思与总结的习惯,因此在进行课堂小结时,充分发挥学生的主体地位,教师的引导作用,通过这一过程让学生学会总结,在总结与反思中提高自己学习数学的能力。
4、我认为本节课的教学不仅对三角函数概念的推广,而且又是一次让学生加深对函数的理解。数学教学不仅仅是让学生掌握知识,更重要的是在掌握知识的同时领悟数学的思想,提高分析问题和解决问题的能力。