在处理函数、不等式的有关问题时，涉及存在成立、恒成立的题目时，给出两个参变量的取值范围，求另一个量的范围，是学生在数学学习中遇到的一个难点问题。解决这类问题，一般要通过在两个不同的函数的最值之间构造不等式，通过解不等式最终求出量的范围。但学生在构建不等式时，对所给函数是取最大值还是最小值不易把握，不知所措。下面我们以一个题目为例，探讨求解这类题目的策略和方法。

先介绍两个重要结论：

设函数f（x）的定义域为集合A，M为一实数，则x∈A，f（x）≤M恒成立≤M，（x∈A，f（x）≥M恒成立≥M≤-M恒成立，两结论具有等价性，可相互转化）。

设函数f（x）的定义域为集合A，M为一实数， x∈A，使f（x）≤M成立≤M（ x∈A，使f（x）≥M成立≥M≤-M成立，同样两结论具有等价性，可相互转化）。

例：设函数f（x）=2㏑x﹢，x∈〔1，e〕，及t∈〔1，2〕，f（x）≥-2mt+2恒成立，求m的取值范围。

分析：可令g（t）=-2mt+2,原问题即转化为x∈〔1，e〕，及t∈〔1，2〕时，          f（x）≥g（t）恒成立，求m的取值范围。要求m的取值范围，需要构建关于m的不等式，我们可以转化为通过比较f（x）与g（t）的最值的大小来建立关于m的不等式给予解决。问题是对f（x）与g（t），是取最大值还是最小值？这才是解决这类问题的难点之所在。为解决这类问题，可采取把一边暂时看成定值，另一边的最值随之确定，最后在确定那一边的最值。如先把f（x）看成定值，应有f（x）≥，此时变为真正的定值，进而有≥。也可先把g（t）看成定值，转化为≥g（t），进而

≥。

解：由已知，有≥

=-=≥0在x≥1时成立

∴  1≤x≤e时，f（x）单调递增

∴  1≤x≤e时，=f（1）=1.

∴g（t）=-2mt+2≤1在1≤t≤2时恒成立。

只需m≥。

变式：

设f（x）=2㏑x﹢，g（t）=-2mt+2, x∈〔1，e〕，总存在t∈〔1，2〕，使f（x）≥g（t）成立，求m的取值范围。

分析：仿上例，先把f（x）与g（t）中的一个看成常量，如把g（t）看成常量，则转化为≥g（t），此时为定值，最终应有≥。

解：由已知，可得≥，仿上例=1，

∴  ≤1在1≤t≤2时恒成立，需

①或②或③

由①得，m∈，由②得1≤m≤2，由③得m＞2。

由①、②、③得m≥1。

对于诸如f（x）≥g（t）“存在…成立”，“任意…恒成立”的问题中，变量x∈A，t∈B以任意，存在形式出现，有四种不同情形，最终要转化为关于f（x），g（t）的最值的不等式问题，结果如下：

（1） 任意x∈A，任意t∈B，f（x）≥g（t）恒成立≥。

（2） 任意x∈A，存在t∈B，f（x）≥g（t）成立≥。

（3） 存在x∈A，任意t∈B，f（x）≥g（t）成立≥。

（4） 存在x∈A，存在t∈B，f（x）≥g（t）成立≥。

这些结论靠死记硬背，记忆难度比较大，极易混淆。而用例题中介绍之方法，先固定一边，暂时看成常量，把另一边转化为最大或最小值，变为真正的常数，最后把这边也转化为最大值、最小值，得出关于所求未知变量的不等式。

就上例中的问题，还有两种不同的形式，大家可以不妨一试。