对指向学科核心素养的初中数学教科书的理解
——以“整式的加减”为例
一、问题的提出：教科书修订后的困惑
我国从1986年开始，改革“一纲一本”的通用教材，实行“一标多本”的教材建设体制，这是中国近代数学教育史上的重要转折，标志着中央对教材建设方面的课程权力进行了适当的下放.实行教材多样化的政策的缘由是由于中国幅员广大，经济文化发展很不平衡，义务教育的内容应该因地制宜，有所不同.各地可以根据当地的实际状况，自主地选择优质教材，提高教材的使用效率，同时也激活教材出版，有利于形成了良性的竞争市场.2001年，在教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的指导下，北师大、华师大、人教社等多家出版社先后通过审核并发行了义务教育课程标准实验教科书.十年后，教育部修订并发布了《义务教育数学课程标准（2011年版）》，各家出版社也开始发行修订后的义务教育教科书，新修订的初中数学教科书都已通过审核并被使用.2016年，国家公布了《中国学生发展核心素养的框架》（征求意见稿），我国的基础教育将走入“核心素养”时代，这给教师研究和使用教科书提供了广阔的空间.
对当前主要版本的教科书中“整式及其加减”的内容编排进行比较，可以发现，修订后的教科书“雷同”现象较为突出.首先，修订后的各版本教科书在内容选择上高度一致，都把用字母表示数、列代数式、求代数式的值、单项式、多项式、整式、单项式系数、次数、多项式的项数、次数的概念、合并同类项、去括号、整式的加减作为主要内容，只是北师版增加了探索与表达规律，华师版介绍了多项式的升降幂排列，青岛版将函数的初步知识融合进来.其次，在结构安排上，修订前有三个版本的教科书安排了两章，按螺旋上升式进行编排.修订后有两个版本都变两章为一章，七个版本中有六个表现出了高度的统一.最后，在逻辑顺序上，绝大多数版本都是按字母表示数—代数式—代数式的值—整式及其加减的顺序进行.那么，是不是这部分内容的特点决定了这种编排的唯一性呢？
二、蕴含在建立“符号意识”过程中的数学思维与学生发展
“整式加减”的学习是建立在学生学习了有理数的基础之上，传统的内容包括字母表示数、代数式、整式、合并同类项、去括号、整式的加减运算等，这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式的乘除、分式和根式的运算、方程、函数等知识的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具.这部分内容是培养和发展学生符号意识的重要素材.
罗素说过：数学就是符号加逻辑.所谓符号，就是针对具体事物抽象概括出来的一种简略的记号或代号，数、字母、图形、关系式等，都是符号.数学符号是数学的语言，是数学的思维工具，同时还是数学知识和数学思维方法的载体，数学知识只有通过数学语言的表述才能被人们掌握、理解、应用和交流.数学符号具有形式上的简洁性、内涵的精确性、使用上的统一性、应用上的可操作性等特点，同时数学符号还具有简约思维、提高效率、便于交流的功能.
Abraham A认为，符号意识主要包括六个成分：对符号的理解和审美能力、对符号表达式的理解及运算能力、用符号关系式表征言语和图像信息的意识、选择恰当符号表征问题的能力、判断与比较符号的多种含义的意识、对不同情境下符号所起不同作用的直觉感.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.”对“符号意识”的理解应该与对“数感”的理解有所区分，“感”是指对数学对象中隐含的意义整体性地领悟感受，“意识”则是建立在学生数学思维活动经验之上，需要通过学生努力而形成的一种直觉之上、能力之下的一种积极的心理倾向.对于学生而言，数学符号是学好数学的基础，建立符号意识将有助于理解符号的意义，有助于有效地运用符号解决问题，有助于理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，从而有助于学生更好学习数学和发展数学素养.
义务教育阶段，学生用符号表示数和数量关系是一个渐进的过程.在小学阶段，学生经历了从现实生活中抽象出数并应用单一运算符号进行数的运算的第一次抽象.在初中阶段，将用字母表示数及其数量关系，从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，其抽象程度显然超过了小学阶段抽象出数的过程，是学生的认识上的一个阶段性的飞跃.在初等代数中，用字母表示既包括用字母表示数，表示公式、运算律，现实世界和各门学科中的各种数量关系，还包括表示变化规律等等.因此各版本教科书都在字母表示数这一节中安排了这四个方面的例子，北师版更是单独设立一节来用字母表示变化规律，青岛版还将用字母表示变量、常量及它们之间的关系融合在用字母表示数这一节课中，应该说是一种有益的探索.
对于符号的解释，教科书可以通过课堂练习或者课后作业来进行适当的渗透，例如对代数式“4a”都可以怎样解释的问题.而对于符号的运算，湘教版修订前的教科书进行了尝试，在第二章中先学习一次式的加减，在第四章中再学习较复杂的多项式的加减.而台湾的教科书则安排得更为合理，在学生学习了单项式的概念之后，增加了单项式与一个数相乘，让学生体会乘法交换律、结合律在式的运算中的应用，在学习完多项式的概念之后，同样安排了多项式与数的乘法运算，这样既体会到了乘法分配律的应用，又总结了去括号的方法，这样的内容设计，值得国内的教材编写者学习.对于帮助学生理解符号之间相互转换的问题，台湾的教科书更具有特色一些，他们通过让学生利用多种方法解决一些与自己熟悉的生活之中的实际问题，来加深学生对符号的理解，发展学生的符号意识和推理能力.
在利用符号解决现实问题这个领域，各版本教科书都利用课前引例、课堂例题、课堂练习和课后作业等各种机会进行渗透.只是哪些实际问题更与学生的生活实际相联系，问题解决更有挑战性方法还存在差异.有些教科书中的实际问题的成人眼光太强了些，有些问题现实性弱了些，人为编造的痕迹强了些，追求应用角度的面面俱到，对一个问题的描述超过几十字，超出了学生的经验理解.
三、跳出学科思维的羁绊，指向培养学生发展的核心素养
教科书是以课程标准为基础，依据教学规律，由学科专家编写，经权威组织审定，供学校施教使用的文本教学材料.教科书是学生直接的学习对象，是理解课程内容并实现课程目标的媒介，其重要性不言而喻.在教科书编写的过程中，学科专家的学科思维起着重要的作用.
“整式的加减”这部分内容的严谨性、连贯性，层层递进和深入，表现出了典型的数学思维，即便是删删减减，也都是以和后继学习相关联.但“整式的加减”仅仅是学生代数学习的起点和基础，学生在以后的方程、函数的学习过程中，都将不断地加深对其理解，过早地将这部分内容完备化、逻辑化，不见得是最科学的方法.比如前面提到过的去括号，利用乘法分配律学生可以自然地迁移和理解，严谨的、程序化的去括号法则反而会将学生带入程序化的思维空间中去.
再如本章的数学概念繁多，学科专家大都采用从特殊到一般，从具体实例到代数抽象的处理方式，将学生的思维固化为简单的类比和抽象，给学生带来深刻体验的是对概念的辨析和应用，而不是对生活的数学理解.同时，由于教学目标的多元性，教学对象的多样性，教学情境的复杂性，不存在一种绝对有效和最优的、在各种情况下都适用的教科书编写策略.但是，选择或建构一种教科书编写策略，对于教科书的编写、修订和理解，仍然是十分重要.为此，笔者提出以下策略.
（一）以一两个主问题情境，贯穿符号理解学习的始终
感受符号学习的必要性是学生建立符号意识的前提已成为共识，如果学生一开始就不理解符号的含义，那么接下来的操作过程必定是机械的、无意义的.当下的教科书无论是概念引入，还是例题习题，提供的问题情境比较多，每一个概念、符号的引入都有不同的情境，学生在建立符号意识的开始要接受的第一个挑战就是在各种新情境中完成从生活到数学的抽象，而实际上完成一个情境下的一个例子，是无法实现这一情境类型下的模型建立和数学抽象，更何况要实现不同情境下对同一个数学概念或数学模型的抽象，这无疑增加了学生学习的难度.事实上，以整式加减的学习为例，无论是用字母表示数、代数式、整式等概念的学习，还是合并同类项、去括号等法则的学习，都可以利用现实生活中的购买商品的问题情境或者是一个数学内部需找规律的问题情境来贯穿始终.学生在一个熟悉的、稳定的学习背景下，就会把注意力集中到抽象本质的思维中，有利于完成学习目标.
（二）抓住学科知识的内涵实质，发展数学学习的可迁移性
众所周知，式的学习要与数的学习进行类比，运算律在式的运算中同样成立.然而对学生而言，只用贴标签的方式并不足以让学生信服和理解.既然要学生运用符号进行运算和转换，抓住数学本身的内涵实质，感受符号转换的合理性就显得十分重要.例如让学生用不同的方法计算a盒大包装和b盒小包装糖果的价钱，就让学生自然而然地理解字母参与运算的法则，这一思考问题的过程就是数学思考的过程，发展符号意识也就是让学生运用符号进行思考，这也是数学抽象、推理和模型思想的集中反映.可以计算糖果的价钱类似，计算不同商品的包装价格可以繁衍出与“整式的加减”有关的很多数学概念和运算规则.而将包装问题、出租车的计费问题、通讯费的计算问题等不同情境下的实际问题相联系、相比较，真正对学生创造自主思考、合作探究的机会，就可以使学生的文化修养和品格塑造在丰富的数学活动和问题解决过程中得以实现.
（三）恰当运用螺旋式上升原则，降低学习难度
《义务教育数学课程标准（2011年版）》就明确指出，在编制数学教科书时，重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则.恰当地运用螺旋式上升的教科书编写方法，关键就是寻求“窄而深”课程设计风格与“广而浅”课程设计风格之间的某种平衡.这个平衡点的寻找，既要在每门课程的整体设计上寻求“可比深度”与“可比广度”的平衡，也要在每门课程的不同内容之间因地制宜、因时制宜，针对不同的局部内容采用“窄而深”“广而浅”甚至“广而深”的课程设计风格，以求得适宜的课程整体难度.“整式及其加减”虽然是基础内容，虽然可以集中到一个章节进行学习，但是采用直线式还是螺旋式，各版本的教科书还应根据自身的编排优势，各具特色，表现出了不同的方法.例如青岛版就采用了螺旋式，将函数的初步知识融合在字母表示数的学习之中，使函数的学习提前，也为下一个螺旋的开始做好了铺垫.湘教版先安排一次式的加减的学习，再对多项式及其加减深入学习，这对于基础稍弱的中西部地区的学生是十分有利的.而对于直线式的安排，也要考虑课程的难度，如单项式次数、系数，多项式次数、项数的学习，应分开安排，如果集中安排，要控制例习题的数量和难度，发展无疑会增加课程的广度与深度，引发学生学习的困难.
总之，学生的数学学习内容应该是丰富多彩的，学习方式应该是多种多样的，对初中数学教科书的理解在思考学科思维的严谨性、完备性、科学性的同时，一定还应该以切实培养学生发展核心素养为中心，把握初中学生的思维特点，抓住学科知识的真正内涵，吸收借鉴国际上教科书研究的先进经验，考虑到我国基础教育的现状，扬长避短，不断创新，才能发挥教科书应有的作用，实现教育目标.
