论 反 证 法 教 学
舒城二中 束永兵
二O一四年六月
论反证法教学
摘 要:从生活实例和典故中,让学生感受到反证法的妙用,按反证法的三个步骤论述反证法的教学,让学生掌握反证法的精髓。
关键词:反证法、反设、推理、结论。
反证法是一种重要的证题方法。在整个初中阶段涉及的内容并不多,但这种“否定结论不成立,肯定结论成立”的逻辑思维方法让学生耳目一新,充满好奇。但由于初中学生数学基础知识比较薄弱,逻辑推理能力不强,所以教材中反证法教学成了初中数学教学的难点。如何让学生准确把握反证法证明思路,领悟反证法证明的要领,是摆在我们广大教师面前值得深入研究的课题。下面结合本人的教学实践来谈谈反证法教学。
一、紧扣生活实际和教材实践,介绍反证法思想,激发学生学习兴趣。
初三教材通过对两个有趣故事《道旁李苦》和《伽利略证明了大小不同的两个铁球同时落地》引出反证法的数学思想,引起学生的浓厚兴趣:假设李子是甜的,推出“早就被过路人摘完了”与“树上还有许多李子”的事实矛盾,从而证明“李子是苦的”,得到“道旁李苦”的结论。伽利略从假设“按亚黑士多德的说法,质量大的铁球落得快”出发,推出“拴在一起11kg铁球反而比10kg铁球落得慢”的结论,与假设矛盾,从而证明“两个铁球应该同时落地”,让学生切实感受到反证法思想实质。
又如初一教材提出“证明是无理数”。先假设“是有理数”得出矛盾,从而否定了是有理数,得出原结论成立。教材中引出这些反证法实例却是“否定结论不成立,肯定结论成立”。
我们举出一些学生所熟悉的“非此即彼”的生活实例,同时也要求学生举出一些生活中的实例,切身感受到反证法的思想,为反证法的教学打下坚实基础。
二、分清步骤,抓住关键进行反证法教学
初三教材中指出反证法的三个步骤:
①反设:假设命题的结论不成立。
②推理:从①中的“反设”出发,逐步推出相矛盾的结果。
③结论:由矛盾的结果判定①中的“反设”不成立,从而肯定命题的结论成立。
“反设”是反证法的第一步和关键的一步。学生在开始使用反证法时往往对“反设”感到不知所措,在反设过程中也常会犯遗漏一些情况的毛病:否定结论不全面。为此,我们在教学过程中,要求学生在给出“反设”之前,先回答两个问题:(1)本题要证的结论是什么?(2)本题结论的反面有哪些情况?之后,再要求学生说出本题的反设。
如:求证一个三角形中至少有一个内角大于或等于60°。先要学生回答问题:本题要证的结论:至少有一个内角大于或行于60°,结论的反面:没有一个角大于或行于60°,即三个角均小于60°。又如,在凸四边形ABCD中,若AB+BD≤AC+CD,求证,AB<AC时,问学生如何给出反设:假设AB≥AC,通过这样的练习使学生知道应当如何去写出反证法的假设,并养成严谨思维的好习惯。
“推理”即导致矛盾是反证法的第二步,能否导致矛盾是反证法的核心,在这一步中,学生经常感到困难的是如何去导致矛盾?
在教学中,我反复向学生讲明,导致矛盾不是主观地臆造矛盾,而是从已知条件和“反设”条件出发,用逻辑推理去分情况“捕捉”矛盾,同时向学生讲清楚“反设”与一般证明中的已知条件一样,是作为假定成立的命题而参与推理过程的,而推理的结果又恰恰是要推翻这个“反设”。要求学生牢记只有抓住“反设”成立这个前提才能导致矛盾。下面举例说明:
已知:AB、CD是圆O的两弦,OE、OF分别是两弦的弦心距,且OE≠OF,求证:CD≠AB。
证:假设AB=CD
连AO、CO,在Rt△OAE和
Rt△OCF中,AO=CO易证AE=CF,
∴Rt△OAE≌Rt△OCF,∴OE=OF
这与己知条件OE≠OF矛盾,所以
AB=CD不成立,故只有AB≠CD。
在举例的基础上,再由教师引导学生进行归纳,得出导致的矛盾常常是与公理、定理、定义、己知条件等,这样使学生印象深刻,便于掌握。
学生往往会在导出矛盾以后就认为反证法已经完成,而忽视了反证法的最后一步:结论。事实上,通过前面的证明,只是推出了矛盾的结果,还没有肯定求证的结论是否正确。因此,“结论”是反证法的一个必不可少的步骤,少了这一步,证明就不完整。
四、恰当练习,掌握反证法。
为了达到反证法这部分内容的教学要求,我还要求学生进行恰当练习,逐步掌握反证法的证题能力。为此,我结合初中教材中出现的问题归纳如下类型:
1、求证的结论是用“必定”、“必在”、“必为”等肯定语句表示。
如:在同一平面内,一条直线与两条平行线中一条相交,必定与另一条也相交。
2、求证的结论是用“没有”、“不能”、“不存在”等否定语句表示。
如:求证不存在这样的两个分数,它们的和与它们的积都是整数。
3、求证的结论是用“至多”、“至少”的形式表示。
如:求证一元二次方程ax2+bx+c=0的根至多有两个。
4、求证的结论用“只有”、“唯一”的形式表示。
如:两直线相交,只有一个交点。
这样做,能使学生更好地掌握反证法。本文所述可供参考。