分数与除法关系的错例分析
蚌山小学 侯敬新
错例的分析不是为了完全避免错误的发生。学生出现错误是很正常的,完全没有错误反而是一种不正常的表现。错误只是学生的思维经历的一个过程,只有对于错误的充分认识才能提高对于正确的完全理解。因而,错例的分析是帮助学生分析错误产生的原因,反思学习方法,促进思维的发展。
苏教版五年级数学下册第4单元《认识分数》有这么一节内容:分数与除法的关系。在教学这部分内容时,相信大多数老师都感觉到学生练习时出现的错误较多,反复纠正后部分学生还是不太理解。围绕着每份量占总数量的几分之几和每份数量具体多少这两个问题确实让学生的思维出现了困扰,下面就这一错例谈谈自己在教学时的一些认识。
教材上的例题是这样的:“把3块饼平均分给4个小朋友,每人分得多少块?”教学时,课件演示一块饼平均分成4份,每人拿一份。接着把第二块,第三块同样均分,把每人分得的拼在一起是3/4块。第二种课件演示是把3块饼垒在一起均分成4份,每人分得仍是3/4块。可是在学生利用学具分一分的时候,学生总是误认为每人分得1/12块。后续的联系经常会出现这样的题型:4米的布料平均分成5份,每份占总长度的几分之几?每份长多少米?学生在解决这样题型时,根本无法区分两个问题之间的关系,错误率非常高。要分析这样的错例,首先我们要找寻错误产生的原因。
重庆教育科学研究院的李光树老师曾经撰写过系列文章,探讨各种因素引起的小学生学习障碍。其中一篇专门提到《有思维定式和负迁移引起的学习障碍》。数学学习活动中的思维定势是指学生在先前的数学学习活动中经过反复经验而形成的一种相对稳定的思维模式,这种模式成为后续数学学习活动思维定向的预备状态。即在后续相应数学知识的学习中,学生总是试图用他们头脑里已形成的某种思维模式去识别,理解面临的数学问题,并总是倾向于用同样的行为方式去解决面临的问题。思维定势具有双重性,容易使学生在数学学习中陷入一种固定的思维模式,造成已有知识在某些新知识学习中的错误迁移。例如除法的平均分问题,在认识分数以前,一直以整数的形式出现。在学习分数与除法的关系时,以前的学习经验可能会对新知识的理解造成干扰。
在教学例题时,学生为什么会得出1/12块这个答案呢?原因是学生混淆了单位“1”和1块的区别。单位“1”是一个广泛抽象的概念,1块饼,2块饼,3块饼都可以看做单位“1”。但是每人分得饼的块数加在一起并不是单位“1”,而应该是饼的总数。也就是说,每人分得饼的块数加在一起应该等于3块,这个可以通过计算验证。教学时,我们可以假设学生的答案,例如4个1/12相加,等于4/12,这个答案肯定不对。这时,引导学生想想每人分得的3块合在一起有没有组成1整块,虽然没有组成1块,但是和1块比较接近了,这个分数应该用什么做分母合适。得到3/4块这个答案后,再次用计算验证,4个3/4相加等于12/4,学生还没有学习假分数的知识,没关系,可以引导学生从分数的意义解释。一共12小块,每4小块组成1整块,12小块正好组成3整块,验证完毕。
解决每份数量占总数量的几分之几和每份数量多少之间的区别,要从除法平均分和分数意义开始谈起。每份数量占总数量的几分之几,其实是分数意义的知识。每份数量多少是除法平均分从整数延伸到分数的知识。讲解每份数量占总数量的几分之几,可以采用从直观到抽象的方式,先画图,再从图画中抽象出算式,解释算理,从而完成整个分析过程。例如9个苹果平均分成3份,12个苹果平均分成3份,18个苹果平均分成3份。先让学生分一分,画一画。分析题意:每题中的每份都占总数的1/3,它们之间的区别在于每份的数量不一样,因为总数量是不一样的。但是不管总数量是多少,都可以看做单位“1”,这是该类型题目的共同特点。决定每份数量占总数量的几分之几其实是平均分的份数,和总数量无关。不管总数量是多少,统统看成单位“1”,用单位“1”除以平均分的份数得出答案。而且这个答案没有单位名称,表示的是两个数量之间比较的关系。课堂上处理这个类型的题目时要分析透彻,讲解清楚,从图形到算式,从直观到抽象建立数学模型。
除法中的平均分问题,学生在五年级之前接触到的都是整数方面的平均分,过渡到分数方面的平均分,分析方法其实没有改变,改变的仅仅是数字。但是如果在教学方法上不注意,部分学生会对这部分知识产生错误的理解,还有可能影响到以前学习的整数平均分的知识。在教学时我们可以采取一些方法,让学生对这部分知识的认识有一个渐进的过程,具体说来就是从整数过渡到分数,让学生认识到算理不变。我们以分饼为例,18块饼平均分成3份,每份有几块?学生几乎不用思考都能回答。然后是12块,9块,3块。在这个过程中是让学生体验回顾平均分的意义,到3块的时候是个转折点,因为下面每份块数就不是整数了。此时适当总结该类型题目的共同特点。然后抛出:2块饼平均分成3份,每份是几块?以前面的学习经验为基础,让学生自己展开讨论,进而认识到题目的本质没有发生改变,仍然是总数量除以平均分的份数,得到每份数。而且该类型题目显著的特点是答案有单位名称,所得的结果是有实际意义的数量。再把这一题和前面题目进行对比分析,从题目的分析方法入手,得出这些题目的本质都是除法类型中的平均分,只不过总数量每份数量是分数。
走完前面两步后,相信学生对于分数与除法的认识可能更深刻了一些。让我们再对前面两种类型做一个大方面的分析。 这两种类型从数量关系上是有区别的,求每份数量占总数量的几分之几是两个数量相比较的关系,围绕单位“1”和平均分的份数展开。求每份数量的多少,本质上就是平均分,和以前学习的平均分,在分析和计算方法上没有区别。从细节方面观察,这两种类型在结果的表达上,一种带单位名称,另一种则不带。其实分析也好,经历也罢。学生对于这部分知识的理解有一个过程,我们所做的分析是帮助学生正确理解,领悟的过程还是靠学生自己。就让时间来证明这一切吧。