浅谈勾股定理
[摘要] 勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理,是平面几何中一个基本而重要的定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国数学史中同样源远流长,是中算的重中之重。《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述,赵爽的《周髀算经注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦。”。古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯,所以勾股定理又称毕达哥拉斯定理。
[关键词]勾股定理;毕达哥拉斯;赵爽;数学;几何。
在茫茫历史长河中,人类存在已经长达数百万年,然而,人类对数学探索的脚步却一刻也没停止过。从印度人发明阿拉伯数字那一刻开始,这将注定开始走上探索数学的光辉道路。人类不断的探索、发现,让数学这门学科演变成各种其他学科的形式出现,包括几何在内。
在公元前六世纪的西方,有一位叫做毕达哥拉斯的学者发现了迄今为止举世闻名的定理——在直角三角形内,两条直角边a、b平方的和,等于该三角形斜边c的平方,用公式a²+b²=c²来表示,这就是“毕达哥拉斯定理”。这一定理的发现是人类的数学探索史上一个重大的发现,人类可以用这种方法来制作直角,并对人类以后的探索作出了重大贡献。其实这一定理又在中国三国时期(公元三世纪)被发现,赵爽在注《周髀算经》中就给出了他的一个简明证法:他把“弦图”中的三角形涂上朱色,它的面积叫做“朱实”。四个这样的三角形围成一个正方形,中间留出一个小正方形空格,涂上黄色,其面积叫做“中黄实”或叫做“差实”。由此推出“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实”。因为赵爽把勾股定理叙述成:“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦”,所以,“毕达哥拉斯定理”又被称为“勾股定理”。
“勾三股四弦五”是赵爽给出的最小的整数勾股数,即a=3,b=4,c=5,此时可构成最小的整数边直角三角形,(3,4,5)就是最小的整数勾股数组,类似的还有(5,12,13)、(8,15,17)。那么,它们是怎样发现这些勾股数的呢?难道他们都是碰巧发现出来的吗?毕达哥拉斯的办法是:任取一个奇数,把它的平方数分为相差1的两个数。就是说,取奇数2x+1,把它的平方数(2x+1)²=4x²+4x+1分成相差1的两数2x²+2x和2x²+2x+1,那么,2x+1,2x²+2x,2x²+2x+1就是一组勾股数。如取奇数67,把67²=4489分成相差1的两个数2244和2245,那么,67,2244,2245这三个数就是一组勾股数。
公元一世纪,我国古代著名数学著作《九章算术》中,提出了一个更巧妙的办法:如果给了两个数m,n,那么,(m²-n²),mn, (m²+n²)就是一组勾股数,每次给的m,n不同,所得勾股数组就不同,如m=7,n=3,就得出勾股数组20,21,29,若m=5,n=3就做出勾股数组8,15,17。公元三世纪的时候,大数学家刘徽用几何方法证明了这个公式。若m,n是两个互素的奇数,那么,用这个公式就能找出全部两两互素的勾股数组。
勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载:"禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也。"这段话的意思是说:大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的灾害,是应用勾股定理的结果。
勾股定理在我们生活中有很大范围的运用。
工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造,就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时,多数可以用勾股定理。
古代也是大多应用于工程,例如修建房屋、修井、造车等等。
家装时,工人为了判断一个墙角是否标准直角.可以分别在墙角向两个墙面量出30cm,40cm并标记在一个点,然后量这两点间距离是否是50cm.如果超出一定误差,则说明墙角不是直角。
比如 A点有一高杆在其附近B点要把从杆顶引下来的绳固定在此点。就可以算出绳子的长度要求了。
在做木工活时,要是有大块的板材要定直角,就用勾股定理。角尺太小,在大板上画的直角误差大。在做焊工 活时,做大的框架,有一定要直角的也是用勾股定理。比如说我要一个直角,就取一个直角边3米,一个直角边4米,让斜边有5 米,那这个角就是直角了。