重视课本习题中的细节学习
胡善存
(怀宁县秀山中学 shancun068@)
摘要:课本上的习题是很好的训练材料,重视习题的研究和反思,能够使学生更好的掌握知识内容。
关键词:课本 问题 习题 细节 学习
引言:学生在有些基本问题上,反复出现错误,根本原因是没有掌握好课本上的基本概念,没有重视课本习题的练习,如果回归课本习题进行认真研究,可以较好的掌握概念,形成能力。
数学的学习最基本的是关注课本,弄清相关的概念,加强基础,从而形成相关的数学能力。重视对课本中的练习题和习题的研究和反思,更能够加强我们对知识的把握。下面,我们可以从课本的部分问题中,分析其所对应的细节,培养更全面的审题习惯,巩固知识的学习。
一、集合的学习
集合是数学的基础,相关的问题中包含了丰富的数学思想,典型的是数形结合和分类讨论。
习题1:一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合的表示.(必修一P5)
学生开始接触高中数学学习,对于这个问题有些学生不清晰该集合是点集还是数集,加强对此题的理解,可以使得学生对集合的表示有更清楚的认识。
习题2:已知集合,若,求实数a的值(必修一P44)
在集合的运算中,空集的讨论,有些学生并没有注意或考虑到,遇到此类问题经常出错,其实对于这个问题,只要把此习题的细节弄清楚了,即要考虑空集,就起到了举一反三的效果。
二、函数的学习
函数的概念和性质是解决函数问题的基础。
习题1:判断函数f(x)=1和g(x)= 是否相等.(必修一P19)
判断两个函数是否相等,是函数概念的问题,学生在处理这个问题的时候,由于考虑不仔细,往往弄错,课本这个习题是个好的练习素材,可以加强我们对函数概念的学习。
习题2:已知函数在[5,20]上具有单调性,求实数k的取值范围.
函数的单调性是函数的重要的性质,二次函数是我们很熟悉的函数,对于其单调性的处理,学生由于概念不清晰,很容易做错。我们可以利用课本这个习题,让学生清楚二次函数的单调性与函数图像的开口方向和对称轴有关。该题可以变式为:函数在[1,2]为单调递减函数,则实数k的取值范围是 ,进一步培养学生的分类讨论的能力。
三、三角函数的学习
习题1:求函数的最小正周期和递减区间.(必修四P143)
解决该题,首先要进行化简,除了用两角和与差的正余弦公式外,也可以引导学生该题直接用诱导公式进行化简更快捷,即,并且该方法可以同样处理2017年高考题:函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为( )
A. C. D. (全国卷Ⅲ文6)
习题2:在中,如果有性质acosA=bcosB,试问这个三角形的形状具有什么特点?(必修五P10)
在用正弦定理把条件转化成sin2A=sin2B,如果没有注意到角A,B是三角形的内角,可能仅仅得到2A=2B,而漏掉2A=—2B;在用余弦定理把条件转化成,有些学生很容易地直接得到,而把=0漏掉。通过此题的训练,可以锻炼学生运用正弦定理和余弦定理解决问题的能力,并且可以促进思维的全面性。
习题3: 在中,,求cosC的值.(必修四P137)
当我们学习完解三角形章节后,也可以再次研究这个问题,此题可知B是锐角,知,sinA由正弦定理和大边对大角知A,从而A是锐角,进而解出此题。我们也可以引导学生探究出在中,sinA的充要条件是A
四、数列的学习
习题1: 在等比数列中,,求与q (必修五P61)
部分学生在解该题时,习惯直接利用等比数列前n项和公式,并且没有考虑到q=1的情况,这是运用等比数列前n项和公式需要注意的细节问题。我们也可以利用返璞归真的思想,得到,求出q,进而得到.
习题2:①已知数列是等差数列,是前n项和,求证也成等差数列. (必修五P46)
②已知等比数列的前n项和为,求证也成等比数列.(必修五P62)
这两个问题考查的是等差数列和等比数列的前n项和的相应的性质,除了证明方法之外,我们可以进行比较得出一个问题:这里一个是,一个是,是仅仅考虑不让题目重复吗?其实,通过这里细节的注意,可以使得学生明白可以等于0,但不会等于0.从而在等比数列中,可以不成等比数列。通过这样的处理,可以训练学生进行比较学习,挖掘知识的内涵。
五、解析几何的学习
习题1:求过点P(2,3),并且两轴上的截距相等的直线方程.(必修二P100)
求该直线方程是不是直接用截距式方程呢?如果学生对方程适用的条件不熟悉,容易漏掉截距都为0的情况。加强此题的学习,可以加深对问题多情况的讨论的能力培养。
习题2:已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,求a的值. (必修二P110)
此题除了直接运用点到直线的距离公式外,可以让学生考虑其几何图像的特征,从而用数形结合的思想得到点A、B所在的直线和l平行或线段的中点在直线 l上,这样也可以求出a。
六、立体几何的学习
习题:已知两个平面垂直,下列命题:
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是( )
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (必修二P73)
本题考查了面面垂直的性质定理,立体几何的垂直和平行的相关问题的处理,首先要对相关判定定理和性质定理有充分的理解,学生们在运用面面垂直性质定理时,往往由于理解不全面,容易错误运用。本题中判断特别是④的判断,如果考虑到这个点可以在两个面的交线上,那么就可以得出该判断是错误的。
课本上许多练习题、习题里面都蕴含着丰富的解题方法和思想,许多高考题都可以在课本上找到原型,只有我们重视课本,夯实基础,我们的解题能力才有明显的提高。