巧用圆的标准方程与一般方程解高考题
胡善存
(安庆市怀宁县秀山中学,shancun068@)
摘 要:圆的方程有标准方程和一般方程两种形式,圆的标准方程体现了圆的几何特征,圆的一般方程体现了圆的代数特征。在求解圆的方程时,特别是高考题时,以上两种方程对于有些题目都适用,但恰当的选择圆的标准方程和一般方程中一种能够更好和更快捷地求出圆的方程。
关键词:圆,标准方程,一般方程,全国卷,问题
引 言:高考题常考圆的问题,其中求圆的方程也是重点问题之一,从圆的标准方程和一般方程中选择恰当的形式,能够起到事半功倍的效果。
一、利用圆的标准方程求解圆的问题
方程(r>0)表示圆心为(a,b),半径为r的圆,是圆的标准方程。在圆的标准方程中有三个参数,因此求圆的标准方程,在具体问题中分析条件求出圆心和半径这两个量,三个参数即可。
问题1: (2015年全国卷2理科第7题)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则=( )
A. C.
经过三点的圆可以用圆的一般方程或标准方程解题,有些学生习惯用一般方程通过解方程组求出圆的方程,这种解法可能解方程组比较麻烦,容易出错。有些此类问题用圆的标准方程也是不错的方法。对于此题我们可以发现,所以,从而可知是直角三角形,,经过该三点的圆即为直角三角形ABC的外接圆,圆心为斜边AC的中点(1,-4),半径为斜边AC长10的一半,圆的方程为,进而可以解出=。
问题2: (2015年全国卷2文科第7题)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
分析三点坐标间的关系,可以得出该三角形为等边三角形,等边三角形的外接圆的圆心与三角形的重心重合,利用重心坐标公式可以求出重心,即为圆心,所以外接圆的圆心到原点的距离为。
问题3:(2018年全国卷2理科第20题)设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于两点,。
(1)求的方程;
(2)求过点且与的准线相切的圆的方程。
此题第一问运用求抛物线的弦长方法求解,略。第二问依据条件,选择圆的标准方程求解,圆心在弦AB的垂直平分线上,由(1)知AB中点坐标为(3,2),所以可得线段AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5,设圆心为,由圆与C的准线相切知半径,由弦得,解出或,所以圆的方程为或。
二、利用圆的一般方程求解圆的问题
圆的一般方程为,其中D,E,F为参数,运用待定系数法求出D,E,F,得出圆的一般方程。圆的一般方程体现了代数特征,有些问题结合其方程的代数特点可以较为方便地解决,起到事半功倍的效果,提高解题效率。
问题4: (2017全国卷3文科第20题)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。
此题第一问可以运用反证法处理,略。第二问用圆的一般方程进行求解。设圆的方程为,令y=0,得,此方程与x2+mx–2=0同解,所以D=m,F=-2。圆的方程为,再令x=0,得,由点C的坐标为(0,1)知y=1是方程的一个根,代入得E=1。所以圆的方程为。该问题是证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值,考查的是圆的弦长问题,我们可以再利用圆的一般方程的代数特征,由得y=1或y=-2,即得出圆在y轴上的另一交点为(0,-2),所以圆在y轴上截得的弦长为=3,为定值,从而该题得到解决。
利用圆的一般方程的代数特征同样可以解决2011年全国卷文科第20题:在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上。
(I)求圆C的方程
(II)若圆C与直线交于A,B两点,且求a的值
问题5: (2017全国卷3理科第20题)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆。
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程。
解:(1)设,设直线l的方程为x=my+2,代入抛物线方程得,得,=4,,从而,,所以坐标原点O在圆M上。
(2)由(1)知AB中点坐标为,即为圆心坐标,因为圆过坐标原点,可设圆的方程为,则,得圆的方程为,代入P(4,-2),求得或,所以当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆的方程为;当时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆的方程为。