谈椭圆的参数方程在解题中应用
科目： 数学
单位：千人桥中学
作者： 孙强
日期: 2015-4-12
谈椭圆的参数方程在解题中应用
[摘要]大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，在解答有些椭圆问题时,若能灵活地运用参数方程,则可收到事半功倍的效果．本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
[关键词] 椭圆的参数方程：
高中阶段介绍了几个图形的参数方程，直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程，和其他的图形的参数方程相比椭圆的参数方程显得非常重要。因为它形式简单、方法易懂,而且利用它可以使有些难解的问题简单化,达到很好的学习效率。下面就椭圆的参数方程举例说明其应用
引例：如图，以原点为圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆半径的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时的轨迹的参数方程.
分析：动点、是如何动的？点、有什么联系？如何选取参数较恰当？
解：设点坐标为，，以为参数，
则
，即 ①
即为点的参数方程，
消去①中的可得为椭圆的标准方程.
由此可知，点的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。
在椭圆的参数方程中，常数、分别是椭圆的长半轴长和
短半轴长。为离心角.
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积
例1 （2004复旦）椭圆内接矩形的周长最大值是.
指针：利用椭圆的参数方程
解：有对称性设，则矩形的周长（当时取得最大值）.
反思：本题在柯西不等式一章中出现过，这里是用的参数方程的方法.
二、求轨迹
例2 已知椭圆 和定点 ，过点 作直线交椭圆于 两点，在线段 上取点 ，使 ，如图所示，求动点 的轨迹方程.
解：设过点 直线方程为 （ 是直线的倾斜角），代入 ，
，
即 ，
设 对应的参数分别为 ，由韦达定理知，
，
，
由 知， ，可得 ，即 ，即 ，①×②+②得 ，即 （已知椭圆内部）.
三、求函数的最值
例3 （2011复旦）椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）（☆）
指针：设取得最大值时椭圆上的点为，圆上的点为，则与圆心三点共线.
解：由平面几何知识，椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值等于椭圆上的动点到圆心的最大距离与圆的半径之和.如图所示，设圆的圆心为，是椭圆上的点，则
，
当时取等号，故所求最大值为.选A
反思：或者考虑与椭圆的相交情况，用判别式法解决.
四、求解有关离心率等入手比较困难的问题
例4 椭圆 与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。
解：设椭圆 上的点P的坐标是（ ）（α≠0且α≠π），A（a，0）。
则 。而OP⊥AP，
于是 ，整理得
解得 （舍去），或 。
因为 ，所以 。可转化为 ，解得 ，于是 。故离心率e的取值范围是 。
通过上述例子可以看到椭圆的参数方程给我们的解题带来了很大的方便，所以适当的用好椭圆的参数方程对我们的学习很有帮助，圆锥曲线中,椭圆具有举足轻重的地位,而椭圆的参数方程的引入和学习,有助于我们更好地理解椭圆的性质,体会各知识之间的联系,方便的解决一些数学问题。
[参考文献]
[1]杨德新;;对一例双参数方程曲线问题的剖析[J];青苹果;2004年Z1期
[2] 范韵;高中新课程《坐标系与参数方程》的教学研究[D];湖南师范大学;2011年
[3] 叶训;;谈圆锥曲线中与距离有关的定值问题[J];高中数学教与学;2011年10期
