采用数形结合思想解决初中数学问题浅探
初中数学
摘要：随着我国初中数学教育事业的持续发展，数形结合的数学思想已经得到了广泛的推广和应用，并且在教学中取得了很多实效，有效地提高了教师课堂教学质量，也促进了初中学生的数学水平和解决问题能力的提高。
关键词：数形结合思想，解决，初中数学问题
引言：数形结合思想是实际初中数学综合教学中的一个重要教学内容，通过数与形的相互转化，可以有效地让学生的解题思路与过程更加清晰、简单，不断提高他们的解题能力，从而提升初中数学教学效果。本文根据本人近三十年的初中数学教学经验，论述了什么是初中数学数形结合思想，采用数形结合思想解决初中数学中的某些问题，以及初中数学教师要注重系统性培养学生的数形结合思想等几个方面的问题，不妥之处敬请同行及专家不吝赐教。
一、什么是初中数学数形结合思想
数形相结合思想是初中数学学习过程中常用的一种重要数学思想，从学生已有的数学基础知识出发，贯穿教师引导学生深化知识的整个过程，使数与形有机结合起来，将抽象、复杂的数量关系或数学结论，转化为具体生动的几何图形来帮助理解；也可以通过观察揣摩几何图形从中抽象出一些数学结论。让学生充分感悟“寓数于形、形中有数”，既是解决数学问题的一种策略，更是数学建模能力的有效培养。简单的说，数与形的融合就是把基础数学中的数学语言转化为图象，或利用图形来揭示其中的数学知识和数学规律的基本思想，使学生更好地理解和掌握数学知识，并充分彰显现代数学教育思想的实际性与应用性。数学知识与图形的妙趣融合，使得教学内容更加直观，同时也提升了学生的逻辑理解能力、推理思维能力，增强学习数学的兴趣和信心，并最大程度感受数学学习中的乐趣。
二、采用数形结合思想，解决初中数学问题
1.助力理解数学概念与结论
实际上，初中数学中的很多题目都是由基本概念逐步衍生而来。因此，教师在教学中应该积极引导学生对有关数学概念进行深入理解，从而让学生潜移默化地形成“概念解题理念”，学生在遇到与之相对应的数学概念问题时，可以充分运用数形相结合的思想方法来进行解题，从而提高学生的概念解题的学习效率，让每个学生逐步树立学好数学概念的自信心。初中数学中，“数轴”是第一个数形结合的概念，也是后续学习一元一次不等式（组）的解集、平面直角坐标系、函数的图像与性质等知识的基础，再比如，各种统计图、乘法公式的几何意义、锐角的三角函数定义等这些内容更是数形结合思想的完美体现。再比如，在学习初中数学《相交线与平行线》这章内容时，教师应该指导学生正确把握线段的概念和线段的长度计算方法，由直线外一点与直线上各点相连的所有线段中，垂线段最短等基础知识点。老师平常仅仅是用语言来解释给学生听，而学生很难理解这个问题的数学本质，大部分情况下，学生往往会用死记硬背的学习方法来记忆，既不理解也不经久，这在某种程度上会影响到学生的学习效果。而这时我们教师可以运用多媒体软件做图，先画一条直线和直线外一点，然后在直线上选取几个点和直线外的那个点分别相连，形成几条线段（其中有一条是垂线段），然后说明线段长度的计算和测量方式，再叫几个同学用直尺或者电脑上的测量软件量出各条线段的长度并进行比较，这样一通操作后，学生就能轻松理解线段的长度的意义和这个结论的意思。通过对课堂教学内容更加生动形象的展示，提高学生的应用和理解能力。
2.拓宽分析数学问题的思路
当学生在进行数学基础练习和综合考试时，经常会遇到一些复杂或有挑战性的问题，如果学生长期花费大量的时间进行代数计算，将会对其它数学知识点和板块的综合学习产生很大的影响。尤其是一些填空题或单选题，如果按常规思路求解可能耗时较长或运算量很大，从而影响到他们的解题效果。因此，教师在平时教学过程中引导学生善于运用数形结合思想，将抽象繁杂的问题转化为具体直观的图形进行分析，从而调整解题策略，另辟解题思路，让学生不但能在短期内正确地解决有关问题，而且在遇到复杂问题的情况下，把问题转换成一个几何图形，可以更容易得到相关问题的解决方案。比如：在学习初中数学九年级教材上册《反比例函数》这一节的内容时，我们提出了一个问题：点 P是反比例函数y=5/x的图像在第一象限分支上的一个动点，PA是与x轴垂直的直线，垂足为A,当点P的位置发生变化时，△ APO的面积会发生怎样的变化呢?这是一个典型的数学传统问题，显然，△APO面积的表达式为1/2OA*PA但OA,PA的长度均随P点位置的变化而变化，学生初学时感到△APO的面积大小无法判断。这时教师引导学生观察图形（函数的图像）发现：OA,PA的长度恰好分别对应P点的横、纵坐标，二者始终满足反比例函数的解析式（xy=5）,进而得到OA与PA的积为定值5，最后得出Rt△APO的面积不会随着P点位置的变化而变化。接着，教师利用几何画板进行验证，让学生从具体的面积数值上直接看出三角形的面积保持不变，从而理解并熟练掌握这一结论。
3.开辟几何题的求解新途径
数与形是数学中两个最基本的研究对象，二者在一定条件下可以相互转化。数形结合作为初中数学中一种既常见又重要的数学思想，教师在日常教学中必须引导学生熟练掌握。特别是在处理一些较为复杂的几何推理题时，借助数的精确性来揭示图形的某些性质（即以数解形），思路清晰，过程顺畅，见解独到，往往给人一种耳目一新的解题感受，更让学生感悟数学中也有妙趣横生的情境，他们会有大彻大悟的喜悦，进一步领略数学之美，美在妙然的转化中。尤其是以矩形或正方形为背景的几何题，用数形结合思想进行分析比纯几何推理的方法更便捷、更易懂。因为矩形或正方形本身就是浑然天成的坐标系，通过建系，将图形的性质用具体的数量进行刻画，既准确更简单，这里仅举一例进行分析：如图，点E为矩形ABCD的边AB上一点 ， A D
以DE为边作正方形DEFG,且点F在边BC上，连接CG、
EG交CD于点R。（1）求∠FCG的度数。（2）若AE=3,BE=4, E R G
求△DER的面积。这题的第（1）问用几何方法导角
（构造“一线三垂直”模型得到全等三角形，再由边推角） B F C
得出结论，难度不大。而第（2）问若采用几何方法求解，则要用到多次相似、勾股定理并结合方程等知识，难度较大，很多同学望题兴叹，无奈放弃。此时如果变换一下思路，将图形置于坐标系中，利用条件中的线段长度，容易得出很多点的坐标，进而求出直线EG的解析式，从而可求出R点的坐标，于是△DER的面积就可借助D、E、R三点的坐标求出来了。“以数解形”找到最优的解题方法，提高学习效率，更能提振学生学好数学的信心。
4.丰富数学课堂的教学内容
在数学课堂教学的改革发展过程中，学生由于受认知水平的限制或有些数学知识本身就比较抽象，需要一定基础的逻辑推理能力才能理解，使得他们难以精准把握相关内容，运用起来更有难度。这时教师可以充分利用信息技术配以动态图形来提升课堂教学效果，让学生通过看图形而达到明道理、学方法、提能力、树信心的良好目标。既让课堂教学内容丰富多彩、教学方式喜闻乐见，重要的是学生能收获满满、信心满满。比如，刚学“勾股定理”时，教师用多媒体将一个勾股定理的形成图形展现出来，然后通过变换四个直角三角形的拼接方式，让学生认真观察并思考其中的两个正方形面积与四个直角三角形面积之间的数量关系，从而抽象出直角三角形的一个非常重要的性质---勾股定理，它是初中阶段解决线段长度类问题的首选方法，学生必须熟练掌握。采用数形结合的教学方式不仅可以有效提升学生对数学知识的正确认识，还能开阔学生的数学视野，把数学知识融入有趣的图形中，从而提高学生解决问题的能力。
三、初中数学教师要注重培养学生的数形结合思想
教师在课前备课、研读教材时，要注重将数形结合的数学思想体现在日常教学中，学生在教师潜移默化的影响下，逐步领悟这一重要的数学思想，拓展分析问题的思路，提升解决问题的能力，进而形成处理数学问题的技能，这才是“授人以鱼不如授人以渔”的意义所在。当然，这是一项“系统性工程”，需要教师周密计划、渐进打造。首先，教师自身必须全方位把握初中数学的课程内容，知悉数形结合思想体现在哪些内容中，进而制订一个长期的系统的培养计划，然后落实于课堂教学中。其次，备好一些经典的颇具代表性的数学问题，引导学生如何将数与形结合起来巧解数学问题，让学生在具体情境中真正领悟这一思想的内涵，体验“会一题通一类”的意境。再次，通过对比同一个题目的不同解决方法，让学生感受数形结合思想的奇趣，激发他们的求知欲，从而实现由“要我学”到“我要学”转变，教与学的效果自然就不言而喻了。
总之，为了提高初中学生学习数学的效率，贯彻落实“以人为本”、“人人学习有用的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念，教师要根据学生的综合学习实情，有计划地将数形结合思想的实际应用与课堂教学活动充分结合，不仅有利于学生真正掌握数学知识，养成良好的数学思维，增强学生处理数学问题的能力，而且可以提升课堂教学的品质。诚然，教师应根据具体的学情，控制教学的深度和广度，选择符合学生实际认知水平的内容进行教学，使学生的数形结合素养得到实打实的发展。
参考文献
[1]张瑞：数形结合思想在初中数学教学中的渗透与应用，中国校外教育，2020年第2期。
[2]杨延伟：数形结合思想在初中数学中的应用研究[J]，中学生数理化(教与学)，2020年第1期。
