从何处来、归往何处
-----以“反比例函数”教学设计为例
本文以“反比例函数”为例,通过问题情境的创设和认知过程的拓展,将教学重难点落到实处等方面,怎样在概念课的教学中融入数学思想和提升数学素养,对学生归纳反比例函数的意义后的评价上,强化学生的情感态度价值观的培养,让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”;在认识反比例函数的意义的过程中,通过数形结合,注重数学化过程,将数学学科素养灵活应用教学中,让学生领会归纳反比例函数意义的数学内涵。
教学内容:反比例函数
教学目标:
知识与技能
1.从现实情境和已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的相似关系,加深对函数概念的理解.
2.经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念.
过程与方法
结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数表达式.
情感态度与价值观
结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式,形成反比例函数概念的具体形象,是从感性认识到理性认识的转化过程,发展学生的思维;同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点:
经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数概念。
教学难点:
领会反比例函数的意义,理解反比例函数概念。 教学方法 教师引导学生进行归纳。
教学方法: 利用多媒体教学平台,采用教师引导,学生自主探索和小组合作相结合的教学方式。
教具准备 :投影片两张 第一张记作A) 第二张记作B)
五、教学流程设计
(一) .创设问题情境,质疑探究
我们在前面学过一次函数和正比例函数,知道一次函数的表达式为y=kx+b其中k,b为常数且k≠0,正比例函数的表达式为y=kx,其中k为不为零的常数,但是在现实生活中,并不是只有这两种类型的表达式,如从A地到B地的路程为1200 km,某人开车要从A地到B地,汽车的速度v(km/h)和时间t(h)之间的关系式为vt=1200,则t= 中,t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式,那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢?这就是本节课我们要揭开的奥秘.
请看多媒体
物理与数学
欧姆定律我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V时.(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表:
当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?
(3) 变量I是R的函数吗?为什么?
(4) 运动中的数学
行程问题中的函数关系
京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间 有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?
工程中的数学
某机械厂加工一批零件,每小时加工的数量和所需的加工时间如下表:
【设计意图】数学知识来源于生活,创设一种学生所熟悉的物理与数学,运动中的数学,工程中的数学。这是符合初中生的学情的,因此能够驱动学生对课堂的围观,让学生在释疑、解疑中提升能力,另一方面,也让学生感悟到生活中无处不数学,多媒体展示,可以反馈课堂效果,同时,不同学生异想天开的思维方式碰撞,让学生的思维灵感更丰富。
利用学生自己对应的数学表达式:(1)IR=220 (2)Vt=1262 (3)XY=60让他们观察这三个表达式,探究几个问题。
师:这三个表达式中有几个变量?
生:;两个
师:两个变量之间有联系吗?它们之间有什么样的联系?我们通常用什么样的数学模型探究两个变量之间的关系?
生:函数
师:这里有你熟悉的函数吗?另外的两个函数认识吗?
生:一次函数......
通过一次函数引出反比例函数
【设计意图】采用浅入深出的问题串,让学生从生活实例中感悟到函数是一种常见的数学模型,用一次函数知识作为基础,采用类比的方法明晰了反比例函数的概念,学生弄懂两个层面:一是有两个变量,即自变量和因变量;二是“一一对应”是函数概念的核心,然后通过比较三个实例中的表达式和变化规律,使学生产生质疑,在释疑中找到一次函数与反比例函数的联系和区别,为后面探究反比例函数的实质奠定基础。
二、步步为营,内化新知
进行新课教学时,还是通过实际问题来感悟数学概念的外延和内涵。
师: 物理与数学,IR=220 或
运动中的数学, Vt=1262 或
工程中的数学,XY=60 或
【设计意图】三个生活的反比例函数实例的具体呈现,进一步加深学生对反比例函数的表面形式的认识,为接下来的反比例函数的概念归纳作好过渡。
“行家”看门道
1.由上面的问题中我们得到这样的三个函数,你能指出自变量和函数吗?
(1)IR=220 (2)Vt=1262 (3)XY=60
(1) (2) (3)
学生先自主探究,然后小组内交流看法,找到特点,将形成的一致意见写在本组的答题上。
教师将学生的智慧进行归纳总结,教师作适当的引导和点评。
概念:(1)表达式中都有2个变量和1个常数
(2)表达式可以表示成分式的形式,分子是常数、分母有且只有一个自变量
(3)常数为正数,两个变量增减趋势相反
【设计意图】学生通过自主观察、小组比较与归纳找到了三个反比例函数的共同特点,由由表及里地对反比例函数的外延认识上升到内涵认识,也水到渠成地归纳概括出反比例函数的概念。
上面的函数关系式形式上有什么的共同点?
都是 的形式,其中k是常数.
的形式,那么称y是x的反比例函数. K叫做比例系数
反比例函数的自变量x能不能是0?为什么?
与反比例函数交朋友
师:认真分析反比例函数的定义,说说你是怎样理解反比例函数的概念的。生:一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成: (K为常数,且K不为0)的形式,那么称y是x的反比例函数,且K为比例系数。
1、常数
2、自变量X不能为零(因为分母为零时,该分式无意义)
3、Xy=k
4、可以写成时注意X的指数为
教师评价
【设计意图】类比思想方式去归纳数学概念是数学的基础思维,可以让学生在数学知识探究上掌握一种有效途径。通过对反比例函数定义的挖掘,使学生提升了感性认识,抓住了反比例函数的概念的实质,突破了知识难点,为以后运用概念解决问题奠定了理论基础。
三、反馈训练,巩固新知
(一)联系生活,深化概念
1、小明同学用50元钱买学习用品,单价y(元)时与数量x(件),那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
2、一个矩形的面积是20cm2,相邻的两条边长为xcm和ycm,那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
3、某村有耕地346.2公顷,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
(二)小组竞赛,巩固新知
下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数?
【设计意图】 竞赛比拼,可以思维撞击巩固新知,又可拓宽学生的知识视野,激发探究的热情。小组竞赛是一种个体竞赛上升成集体对抗,让学生萌芽集体荣誉感,引发竞争意识。
(三)【现场提问】
(1) 已知函数 是正比例函数,则 m =___
(2)已知函数 是反比例函数,则m=___
(3)已知函数 是反比例函数,则m=___
(四)待定系数法求反比例函数的表达式
例1:已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)求当x=4时,y的值.
【设计意图】设置由易到难的几组练习,呈现本节课的知识重点,有效地检验学生掌握知识的情况,通过应答相关问题,学生对本节课的内容进行了建构,认知更明了,同时,小组合作学习可以彰显团结的力量。
四、课堂小结,收获成果
师:同学们,这节课还有存疑吗?通过学习,你有何收获?
生:畅所欲言
师生交流:1、反比例的概念:一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示 的形式,那么称y是x的反比例函数
2、注意事项:(1)常数
(2)自变量X不能为零(因为分母为零时,该分式无意义)
(3)Xy=k
4)可以写成时注意X的指数为
3、小结拓展
反比例函数的三种变形:
【设计意图】 亲历独立思考和合作交流之后的小结,可以让学生快速梳理知识和数学思想方法,形成知识体系,提升学科素养。