分析图形特征 感悟数学思想
王雪
（宿州市灵璧县王集初级中学 3372352164@)
摘 要：基本图形是指现行教材中概念、公理、定理以及推论对应的图形或教材中具有一定典型性的例题、习题所对应的图形。无论图形多么复杂，都有由一个或者若各个最简单的、最基本的图形组合而成，找到这些基本图形往往也就找到了解决问题的突破口。
关键词： 数学之美 探究乐趣 一马平川 一通百通。
引言: 在教学过程中，我们发现有些几何图形不但形式优美，而且图中隐藏非常有趣的数学结论，我们会把这些图形作为基本图形分享给学生，并建议他们记住这些图形和结论，这样会在一定程度上提高学生的解题效率。在众多的基本图形中，有一个常见图形共顶点等边三角形，不管是图形，还是结论，都尽显数学奇异之美，其背后所蕴藏的数学思想和方法也同样耐人寻味。
一、解析基本图形
案例1 北师大版数学九年级中考总复习课共顶点的特殊三角形如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线． 求证：BE=BD
解法简析
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BAD=30°，
在△ABE和△ABD中，
AE=AD ∠BAE=∠BAD AB=AB ，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
案例2已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；
（2）求证：△MNC是等边三角形．
解法简析
证明：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，
∠DCE+∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC∠ACD＝∠BCECD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，AD=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，
AC＝BC∠CAD＝∠CBEAM＝BN，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，
∴△MNC是等边三角形．
案例3：如图所示
C为线段BE上一动点（不与点B，E重合），在BE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AE与BD交于点O，AC与BD交于点F，AE与CD交于点G．以下四个结论：
①AE=BD； ②BF=AG； ③∠AOB=60°； ④∠EOC=60°．
正确的有______个．
解法简析
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∴∠BCD=∠ACE
在△BCD与△ACE中，
∵BC＝AC∠BCD＝∠ACECD＝CE，
∴△BCD≌△ACE
∴AE=BD，故①正确；
由（1）中的全等得∠CAE=∠DBC，进而可求证△CFB≌△CGA，
∴BF=AG，故②正确；
∵AC∥DE，
∴∠CAE=∠AED，
∵∠CAE=∠DBE，
∴∠AOB=∠OBE+∠BEA=60°，故③正确；
同理可得出∠BOE=120°，∠OBC=∠OCD，
∴∠DCE=∠BOC=60°，
∴∠EOC=60°，故④正确．
故正确的有①②③④共4个．
这是全等三角形中的几道典型题，△ABC、△CDE都是共顶点等边三角形，我们关注结论同时背后蕴含数学思想，结论一般化推广和数学方法的应用。从案例1到案例3，整体连贯，主要是根据特殊三角形的边角关系，找到三角形全等，再得到对应边相等，对应角相等有关结论，整个过程注重学生学习数学变化，发散思维，数学建模等数学思想、数学思维能力的培养。在此过程中，也让学生感受数学知识应用的乐趣，享受数学问题解决的成就感，感悟数学从简单到复杂，特殊到一般的探索研究乐趣。
二、层层递进，应用基本图形
教师在平时教学中，首先应该通过典型例题的剖析，归纳问题的处理策略，形成解决同类问题的一般思路与分析方法；其次，要引导在日常学习中重视基本图形的发现、积累和运用，提高解题能力，培养数学意识，用数学意识来指导解题：用问题激活课堂，用问题启发思考，给学生足够的思考、感悟时间和空间，使学生思维得到发展，能力得到提升，从而感悟数学思想。
方法1于方法2选择原图中的某个三角形，将它绕着一个点旋转全等变换，构建出两对全等三角形，将相关数量关系转化到一个全等三角形中，构建共顶点全等三角形转化数量关系，实现分散的条件聚集到一个三角形或基本图形中，从而解决问题。
三、解题后反思
（1）重视基本图形特征解析
作为几何研究对象，无论多么复杂都是由一个或者若干个最简单的、最基本的图形组合而成，找到这些基本图形往往也就找到了解决问题的突破口。教会学生从复杂图形中分离出基本图形，并运用所学基本图形的性质解决问题，是提高学生解题效率的有效方法。在积累基本图形同时，要引导学生去认识图形特征，这是应用模型解决问题的先决条件，有些几何问题中存在完整的基本图形，可以直接利用其性质解题，而有些问题中只出现基本图形的一部分，需要添加辅助线构造出完整的基本图形，才能应用从复杂图形中正确地识别出基本图形或构造出基本图形。积累基本图形，认识基本图形的特征能较好地培养几何直观，是一种有效的数学活动经验的积累。在实际教学中教会学生提炼基本图形、识别基本图形，并运用其性质解决问题具有重要的实践性意义。
（2）重视基本图形中数学思想和方法的提炼
章建跃博士在《数学教育随想录》中提出“数学知识的意蕴只有在领悟数学知识的本质、解决数学问题中才能得到理解。但解决数学问题不等于解数学题，我们应从培养创新人才的需要出发，紧紧围绕让学生认识数学本源性的问题，从而使学生做到知其，知其所以然，最终解决何尤以知其所以然。”在实际解题教学中，在独立思考求解、多解方法交流之后，引导学生回顾解题的基本思路，提炼解题过程中所运用的数学基础知识，总结基本图形的解题活动经验。
一个人能成为创新性人才，除了必要的知识和技能之外，更重要的在于思想方法。思想的感悟和经验的积累是一种隐性的东西，在很大程度上学生的发展，是学生数学素养的集中体现，也是育人为本教育理念在数学学科中的具体体现。
基本图形的结论能启发学生的解题思路，也可能会禁学生的思维，而通过感悟，提炼基本图形中隐含的数学思想和方法，能帮助学生内化知识，提高解题能力。通过对比、归纳和提炼，便将抽象出具体的数学方法，对于解决类似的问题有一定的借鉴和指导作用。将它绕着一个点旋转全等变换，构建出两对全等三角形，将相关数量关系转化到一个全等三角形中，构建共顶点全等三角形转化数量关系，引导学生感悟数学思想，提炼数学方法。如例题中，解题指导时仅用方法1或方法2，没有进一步思考方法背后的数学思想时什么，在此数学思想的指导下还可以找到哪些解法，教师要把“一题多解”“一题多变”“多解比较”和“解法优化”等学习过程作为培养学生数学思维品质的重要途径。不断鼓励学生积极主动地进行深度思考，激发学生持续学习的想象力和好奇心，促进学生有效务实数学思想、整体把握数学基本图形技能和深刻理解数学思想。指导学生深入总结和有效提炼数学解题活动的基本方法为指导学生理解数学问题本质、增强理性思维品质、提高问题与反思意识以及发展数学核心素养提供持续而有力的支持。让学生感受数学思想魅力和提升思维品质的机会。
基本图形何其多。让学生从基本图形中感悟数学思想和提炼数学方法是一种有效的数学学习途径，让学生的学习探究“有路可走”：平时所说的“通一法而会解百题”这个道理。分析基本图形特征，感悟数学思想教学，才是深度教学。才能让学生一马平川，一通百通。
参考文献
1、罗绵景 《渗透数学思想，提升核心素养》 2018年 56--57
2、王钟鸣 《一题多解得有效性》2017年 24--25
3、章建跃 《数学教育随想录》2017年
4、高一子《基本图形在平面几何中的教学运用》2015年 38--40
