高考数学创新题赏析
梁 松
(安徽省霍邱县第一中学 15955992162@)
摘 要:创新题是数学高考题中的一种重要题型.本文探讨了高考中常见的三种创新题类型,针对具体题目给出破解思路.
关键词:高考数学,创新题,迁移,类比归纳,实践操作.
一、迁移型创新题
信息迁移题是指以学生已有的知识为基础,设计一个陌生的数学情景、或定义一个概念、或规定一种运算、或给出一个规划,通过阅读相关信息,根据题目引入新内容进行解答的一类新题型.由于信息迁移题背景新颖,构思巧妙,而且能够有效的考查学生的阅读理解、分析判断、抽象思维、联想类比、运算表述等能力,所以在高考中出现的频率很高.
例1 (2014年湖北高考题)设是定义在上的函数,且,对任意,,若经过点,的直线与轴的交点为,则称为,关于函数的平均数,记为,例如,当时,可得,即为的算术平均数.
(1)当时,为的几何平均数;
(2)当时,为的调和平均数.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
解析:设,且三点共线.
(1),则,即,因为,所以化简得,故可以选择.
(2),则,因为,所以化简得.故可以选择.
评注:解决新定义问题的方法是先学后做,以旧破新,即准确理解新定义的内涵,然后用旧知识去寻觅所给问题中新定义需要的“关节点”,进而由相关条件求解.
练习(2014年山东高考题)已知函数.对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点,关于点对称.若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是 .
答案:.
二、 类比归纳型创新题
类比与归纳是数学发现的重要源泉.类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等引申、迁移或推广,由已知探索未知,由旧知探索新知;归纳则是从若干特殊现象中总结出一般规律.此类试题考查学生的观察、联想、类比、归纳、分析、概括等能力.
例2(2014年福建高考题)用代表红球,代表蓝球,代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球,而“”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A. B.
C. D.
解析:5个无区别的红球取出若干球可表示为;5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为;5个有区别的黑球取出若干球可表示为.由乘法原理可得所有取法可表示为.故选A.
评注:观察、分析、联想、归纳和借鉴一定的经验(一些典型问题)是解决此类问题的方法.本题要求学生在理解题目提供的相关知识背景的基础上,运用类比的方法,结合排列组合知识分析问题、解决问题.
练习:(2013年陕西高考题)观察下列等式
照此规律,第个等式可为 .
答案:.
三、实践操作型创新题
实践操作题为考生创设了动手实验、操作探究的空间,有效地考查了实践、创新能力,为考生提供了展示个体思维及发散创新的平台,是中考命题改革的一道亮丽风景线,实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、作图、空间想象等,这类题目灵活、新颖,同学们解答这类题目时,如果找不到合适的方法,会有一定困难.
例3(2014年江西高考题)如图,在长方体中,,,.一质点从顶点射向点,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第次到第次反射点之间的线段记为(),,将线段,,,竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )
A B C D
解析:因为,所以延长交于,过作垂直于.在矩形中分析反射情况:由于,第二次反射点为在线段上,此时,第三次反射点为在线段上,此时,第四次反射点为在线段上.由图知,选.
评注:这类问题,关键是审清题意,学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换,运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法.在平时学习中,要注重操作习题解题训练,提高思维的开放性,运用所学知识揭示问题的数学本质,并转化为我们熟悉的数学问题.
练习(2012年湖南高考题)设(,),将个数,,…,依次放入编号为,,…,的个位置,得到排列.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列,将此操作称为变换,将分成两段,每段个数,并对每段作变换,得到;当时,将分成段,每段个数,并对每段变换,得到,例如,当时,,此时位于中的第个位置.
(1)当时,位于中的第___个位置;
(2)当()时,位于中的第___个位置.
答案:(1)6;(2).