问题描述

教学完《分数与除法》后，我会经常让学生练习这样的题目：4米长的绳子，平均分成5段，每段长是这根绳子的，每段长米。令我不解的是：学生在做“一根4米长的绳子平均分成5段，每段长是这根绳子的几分之几”这样题目的正确率很高。同样，上学期学习小数除法时做“一根4米长的绳子平均分成5段，每段长多少米”这样的题目时，学生的正确率也很高。但现在将分数的意义的应用与除法计算两个问题合二为一时，学生却反而不会了。

初次分析

出现这种情况，我认为，主要在于学生没有很好地理解分数的两种身份：既可以表示分率，也可以表示具体数量。其实学生从三年级开始所接触到的分数，大都是以分率身份出现的。因缺少必要的课前预热和沟通，没有很好地完善所学习的分数的体系，于是分数的两种身份在头脑中相互干扰，从而导致混乱和错误。

那么，如何提高学生解决类似问题的正确率呢？虽然我也向同行中请教一些方法：即在教学中向学生强调一点，平均分成几份，不带单位的可以用分数的意义去理解，就用1去除以几份，带单位的就用总量去除以几份。但是这种方法是基于对算法的固化记忆而不是理解。更为重要的是，这样的教学是否会对学生长期的数学学习产生消极的后果呢？对学生数学思想的形成不就背道而驰了嘛？

再次剖析

自然在我们看来，两个自然数数相除，很多情况下商用分数表示很方便。但在学习过本节知识后，学生还是不善于使用分数表示商，除非题目中有要求或提示。由此可见，分数还没有被完全纳入到学生已有的数的概念体系之中。之前我们学习的整数除法，都是用大数除以小数的；而后学习了小数，商不是整数，就用小数表示；生活中的一些常见的数量几乎也都是整数或小数。当学习了分数与除法的关系后，由于没有很好地实现学习分数后数的概念相应观念的更新，商可以用分数表示这一观念便没有很好地纳入到学生已有的知识体系中，导致学生面临这样的问题时很不适应，思维混乱，出现各种错误。这也表明“数学的学习不是一个连续的过程，他必须重新组织、重新认识，有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂。”

因此，问题的关键在于教学《分数与除法》这一课时，要让学生对所学知识进行重组，强化对分数作为一种新的数，可表示具体数量的认识，进而完善分数的意义，并能从除法的角度解释一个分数，沟通其与知识的联系，重新建构知识网络。

大多数学生正是通过先前的学习逐渐形成了与分数直接相关的某些观念：分数表示的是某种关系。由于上述错误有着十分深刻的认识根源，因此，我们就不可能通过正面的示范简单地得到纠正，需要在学生头脑中一起必要的冲突，从而较为自觉地实现观念的必要更新与知识的必要重构。我们应该清楚地认识到，这一课的难点不在于通过一两个例子，让学生总结概括出分数与除法的关系，进而进行模仿练习，而是真正地理解并认识分数隐含的深刻的与除法千丝万缕的联系，架构起分数真正的内涵。

通过这一课的学习，学生容易掌握用分数表示商的方法，但要强化和完善分数的意义，从除法的角度解释一个分数，并沟通与原有知识的联系存在一定的困难，需要教师做进一步的引导。

实践思考

北师大版教材通过“1块蛋糕平均分给2个人，7块饼平均分给3个人，每个人分几块蛋糕？”这样的问题，引导出商用分数表示。继而引导学生观察、归纳，总结出分数与除法的关系。在实际教学时，由于我把重点放在分蛋糕的结果的表示上——即用假分数或带分数表示结果，以及它们之间如何转化，而忽略了学生探讨过程的这一环节，致使学生对分数与除法的联系还存在一种一知半解的状态中。

在下一节练习课中，我要让学生在比较小数和分数结果的优越性上，使学生对原有的认知结构与思考模式进行重新组织、重新认识，把学生头脑中已有的但不是很明确的“分数作为具体数量的一面”展现在学生面前：在表示具体数量时，分数与小数是一样的，选用哪个数都是可以的。以此来完善学生对分数的再认识。

另外，还可以设计分绳子、分苹果等练习题，先让学生解释什么情况下可用分数的意义去理解，什么情况下应该用除法算式计算，进一步加深学生对分数可作为具体数量的全面理解。同时，也可以从除法的角度解释分数，或从分数的角度解释除法，加深学生对分数与除法关系的理解，并实现知识系统的完整建构。

“问题”的出现，不仅给老师提供反思教学的机会，也让学生加深了对知识的理解和掌握。抓住问题，深挖问题，成为当前数学教学精加工的主要途径。任何一位好的数学老师都应该从问题出发，引导学生不断完善自己的知识体系，理解并加以运用，让知识得以内化，这才是学生学习数学的主要的目的。