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引例对新知识形成过程的作用
作者:花维 发表时间:2019年04月29日 浏览量:11 分享到空间
引例对新知识形成过程的作用
背景:
点到直线的距离计算公式是研究了直线的方程和两条直线的位置关系的基础上,探究如何用坐标和方程来定量研究距离问题。学生已经有的相关知识是:两点间的距离计算公式,直线倾斜角、斜率,直 线方程的各种形式,直线间关系的判 断依据;并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程,积累了一定的坐标法思想解决问题的经验。
教材的处理:由直 线交点、两点距离计算,学生很自然想到通过求过已知点 且与已 知直线 垂线的直线 ,再求直线 与 的交点,从而用两点距离计算公式求之,想法、解法十分自然,但学生却没办法完成,因为计算繁琐,技巧性高,大部分学生没办法推导。紧接着教材就直接给出作辅助线,应用三角形面积相等进行推导。
2.问题的 提出:[来源:学科网ZXXK]
对公式的推导,关键是“怎样想到利用坐标系中的 轴或 轴构造直角三角形,从而推出公式”,直接呈现教材,作辅助线,这样做,面积法的出现过于突然,无法展现为什么会想到要构造三角形这一最需要学生探索的过程,不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的 数学思 想方法,而且不能摆脱在客观上对学生灌注式教学。第二方面,我们不能简单拘泥于教材的方法,点到直线距离公式的推导,局限于学生已有的知识储备,应用解直角三角形是最简单快捷的(向量知识还没学习,三角形等面积法的运算也较复杂)。为了真正实现以学生为主体的教学,“引例”力求能以启迪学生思维为核心、启发学生思维的“最近发展区”。
3. 引例设计:
3.1引例:已知点 ,直线 ,求点 到直线 的距离
分析一:由于前节课刚学习直线的交点和两点间的距离计算公式的知识储备,学生容易想到通过求得过点 且与直线 垂直的直线 ,再求 的交点,用两点间距离计算公式求之。
学生解法一:过 且与直线 垂直的直线为
由 得两直线交点
由两点间距离计算公式得
分析二:学生容易观察到 是等腰直角三角形
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在 中,
学生解法三:由直线方程得
设计意图:给定原点与具体的直线,其中蕴含的直角三角形是明显的,让学生最容易想到的解法都展现出来,等面积法(解法二),为后续构造直角三角形埋下伏笔;由 是特殊角,学生易想到解直角三角形(解法三)。
3.2引例变式:已知点 ,直线 ,求点 到直线 的距离
解法一:学生用引例1的方法一同样快速求解;
分析:能否构造三角形用引 例1解法二的等面积法呢?学生就易想到作辅助线构造直角三角形了。
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易得 , ,
在 中,
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,且在 中,
4. 公式的推导:
问题:已知点 ,直线 ,求点 到直线 的距离
学生尝试解法一进行推导,结果发现计算繁琐(需要较强的运算技
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学生尝试解 法二进行推导,此时问题便迎刃而解:
当 时,直线与两坐标轴均有交点,
由点 引坐标轴的平行线分别交
直线 于