函数观点下的恒成立问题

引例：若关于x的不等式 对任意 恒成立，求实数m的取值范围。

分析：令 ， ， ，

∴当 时， 在区间[0，1]上的最小值为 – 3，

恒成立， 。

变式1：函数 对任意 恒成立的条件是什么？

分析： 时， 且 ；

时：

思考1：由二次函数的图象可得 （开口向上，与x轴没有交点）；

思考2：令 恒成立， （有最小值，且最小值大于0）， 。

说明：思考1利用二次函数的特性（图象为抛物线），是其独有的性质，而且必须 ，当x在某个区间内时，不适用，因此不具有一般性。

思考2并 不依赖于二次函数，对任何函数都适用，是解题的一般方法，体现了函数的思想，把恒成立问题转化为求函数的最值问题：

（1） 恒成立 的最小值；

（2） 恒成立 的最大值。

由此，对于恒成立问题中求参数的范围时，常采用“分离变量”的方法，即未知数写一边，参数写另一边，这样求函数的最值便比较简单（可以避免分类讨论），这种题型在导数的应用及高考试题中尤为常见。

如：当 时，关于x的不等式 恒成立，求实数t的取值范围。

（答案： ）

变式2：若不等式 当 时成立，求实数m的取值范围。

分析1：（分离变量） 时， 成立；

时，原不等式等价于 ，

∵函数 在区间 上单调递减， 的最小值为 ，

又 恒成立， 。