高等代数理论在中学数学中的若干应用
赵德苗
(六安市霍邱县潘集镇左王初级中学,1541685088@)
摘要:高等代数的相关理论在中学数学涉及的内容已经越来越广泛,将高等代数运用到中学实际教学问题的解决,可以降低解题的难度,优化解题过程。本文主要是研究高等代数中的行列式、矩阵、多项式以及柯西不等式知识点及相关性质、定理在中学数学解题中的若干应用。
关键词:高等代数;中学数学;应用
引言:高等代数是中学数学的延伸,高等代数学习的行列式、矩阵、线性方程组、多项式等在中学数学中都有着若干应用。与中学数学内容相比,高等代数更加深入,相关证明也更加复杂。中学数学与高等代数两者是相互促进的,中学数学是基础,为高等代数提供研究模型,高等代数同时在中学数学有许多应用,通过利用高等代数知识可以方便快捷解决中学数学相关问题,有效地解释了许多中学未能解释清楚的问题。本文列出高等代数在中学数学的应用,并举出相应实例,旨在感受高等代数与中学数学的密切联系,学会利用学习过的高等代数知识去研究中学数学的一些问题,体会高等代数的实用性与重要性。
一、预备知识
中学数学里,多项式因式分解、求法向量、等式明都用到高等代数里行列式的知识,按行按列展开,将较高阶数行列式化为阶数较低的行列式。平面变换、判断空间两条直线的位置关系、判别二次线的类型都涉及到矩阵的知识。另外还涉及到多项式和柯西不等式的相关定理,下面介绍一下行列式、矩阵、多项式、柯西不等式的相关知识。
定义1[1] 阶行列式记为:
阶行列式等于不同行不同列的个元素的乘积的代数和,是的一个排列,由排列的奇偶性决定这一项的正负号,是偶排列时为正,当是奇排列时为负,即
=
因此,二级行列式定义为:
三级行列式可定义为
定义1[1]
关于行列式性质的性质,可归纳如下[1]:
性质1 行列互换,行列式不变。
性质2 把行列式中任意一行或一列的所有数都一个数,相当于用这个数乘以整个行列式。
性质3 行列式中有任意一行或一列元素是0,整个行列式的值都为0。
性质4 行列式的某一行或某一列是两组数的,那么这个行列式就等于两个行列式的和。
性质5 如果行列式中两行成,那么行列式整体为零。
性质6 任意一行或一列的比例数加到另一行(列),行列式不改变。
性质7 对换行列式中两行的位置,行列式符号相。
定义2[4] 把多项式化成几个最简式积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
定义3[1] 矩阵就是在括号()里的一组行列(横的称为行,纵的称为列)列的一个数表。通常是用…大写字母来表示矩阵。例如一个行列的矩阵可以简记为:
,
式中的表示矩阵的元素,的下标字母表示数,下标字表示矩阵的列数。特别地当时,则称为阶方阵,并且用
设矩阵和都是矩阵,如果表示矩阵加矩阵的和,则有
,
可记为即矩阵的加法就是矩阵所对应的元素自相加。当然相加的矩阵必须有相同的行数和列数。
设矩阵是两个矩阵,且满足矩阵的列数等于矩阵的行数这个条件时矩阵才可以相乘,那么假设是矩阵的乘积,记作,则乘积的第行第列的元素就于矩阵的第行的元素和矩阵的第列对应的元素积之和,其中矩阵中的第元素可以用字母表示为:
.
定义4[6] 二阶矩阵确定的变换就是构造,使平面上的点(向量)变成对应的点(向量),这个映射的法则就是左乘一个矩阵,在这个换中,矩阵称为变换矩阵,变换矩阵不同,得到的是不同的变换。
定义5 [1] 矩阵利用初等行变换计算后,不为零的的个数就是矩阵的秩。
引理1[1] 非齐次线性方程
方程有解等价增广矩阵的秩和系数矩阵的秩相等,并且当时有唯一解。
定理1[3] 设两条空间直线方程为:
并令
,
且设的秩为,,则
(1)当时,两直线重合。
(2)当时,两直线相交。
(3)当时,两直线平行。
(4)当时,两直线异面。
定义6[1] 假设是一个非负的整数,表达式为,其中代表属于数域中的一元多式,或者简称为数域上的一元多项式。在多项式称为次项的数,称为次项,可以用来表示多项式。
定理2[1] 在数域内,多项式的次数若就可以唯一分解成数域P上的的多项式的乘积。
定理3[1] 一次多项式去除某个多项式,得到的余式如果是一个数,那么这个常数就称为函数值。
定理4[2] 若的最大公因子为,则存在两个整数.
柯西不等式一般形式:
,
等号成立条件:当且仅当中有一为零。
特别地,二维形式的柯西不等式:
,
公式变形为:
.
且等号成立条件为.
二、行列式在中学数学中的应用
; 行列式在因式分解中的应用
例1 将进行因式分解。
解 由行列式的性质,有:
例2 将进行因式分解。
解 由行列式性质,有
行列式在求法向量中的应用
求法向量是中学数学中比较常见的题目,现在用高等代数中的行列式也可以解决这个问题。首先介绍一下中学数学求法向量的一般方法:
已知一个平面内不的两个向量
设为平面的法向量,则
即
消去,得:
消去
取方程的一组解为
所以可得:
则平面的一个法向量为:
例3 已知平面内有不线的两个向量=(1,3,2),=(2,-1,2),求平面
的一个法向量。
解 设所求的法向量为,则
所以所求得法向量为(8,-2,-7).
行列式在等式证明中的应用
例4 证明:
证明 由行列式的性质,有
即证。
三、矩阵在中学数学中的应用
矩阵在求解二元一次方组中的应用
例5 求解二元一次方程组的解
解 已知方程组可以写为:
,
令
,
矩阵对应的行列式为:
逆矩阵
,
则
即方程的解为
矩阵在平面变换中的应用
例6 在矩阵的作用下分别得到什么变换?这些变换把直线3x+2y=7变成什么图形?
解 设平面上任一点为:,在矩阵的变换下:
,
这一变换把点变成轴上的点所以在这一变换下直线变成了(7,0);
在矩阵的变换下:
,
这一变换把点变成轴上的点所以在这一变换下直线变成了(0,7)。
矩阵的秩在判断空间两条之间的位置关系中的应用
例7 判断两直线
,
之间的位置关系。
解 设系数矩阵为,增广矩阵为,则
利用矩阵判别二次曲线的类型
二次曲线方程的一般形式为:
则将方程写为矩阵形式为:
,取方程的二次项为0,即
,
化简为
,
根据韦达定理可得方程的根
,
在矩阵
中,所以根号里面的,通过的大小可以判断二次曲线的类型,
(1)当时,给出的二次曲线为椭圆;
(2)当时,给出的二次曲线为双曲线;
(3)当时,给出的二次曲线为抛物线;
例8 判别下列二次曲线的类型:
解 设
即:
将二次曲线写为矩阵形式:
矩阵中元素16的代数余子式:
则可知二次曲线为双曲线。
四、多项式在中学数学中的应用
多项式在因式分解中的应用
例9 因式分解一元多项式:。
解 显然,,由余数定理知,的一个因式,此时设:
,
由待定系数法有因此,有
.
例10 因式分解一元多项式:
解 显然,
由余数定理得:没有一次因式,那么可约必有二次因式。设
由待定系数法,得:
,
所以,可得
.
多项式在无理数证明中的应用
例11 证明是无理数。
证明 假设,其中与为自然数且互质,则,根据定理3知,存在两个整数使得:于是因为都是整数,所以为整数,即这与不是整数相矛盾。因此,。
五、柯西不等式在中学数学中的若干应用
柯西不等式在数学的各个分都有着极其广泛的应用,许多中学数学问题都可用柯西不等式来求解,首先简单阐述柯西不等式的基本式,然后用具体的例题论述柯西不等式在求最值中的应用。
柯西不等式在求最值中的应用
例12 设为正数且互不相等,求证:.
证明 将移到不等式的左边,化成:
因为故:
,
即证。
例13 求函数的最大值。
解 由题意知函数的定义域为[5,9],则由柯西不等式为
,
则
,
并且函数仅在,函数的最大值为10。
六、结束语
通过对高等代数理论及中学数学的学习,我们知道了利用高等代数知识去解决中学数学相关是十分重要的。本文列举了行列式、矩阵、多项式、柯西不等式在中学数学解题上的应用,然后通过一些例题阐述了相关理论的具体应用,更容易掌握理解。
参考文献
著作类
[1]北京大学数学系几何与代数研究室代数小组.高等代数(第三版),北京高等教育出版社,2003年。
[2]孙敏:高等代数方法研究,云南大学出版社,2009年。
[3]徐仲,陆全,张凯院等:高等代数导丛书(第二版),西北工业大学出版社,2006年。
文章类
[4]杨远廷:用高等数学的观点看中学数学教学,德阳教育学报,2000年第14期44-45页。
[5]唐剑:浅谈高师高等代数课程对中学数学教学的指导作用,中国西部科技(自然科学版),2011年10期72-73页。
[6]候维民:从数学方法看高等代数与中学数学的多种联系,数学教育学报,2003年12期85-87页。