这 样 解 题 正 确 吗

津里中学   杨光翔

2011年9月14日，我在上完九年级数学第22章《二次函数y=ax²+bx=c的图像和性质》的最后一课时，布置了第28页第11题作为课堂作业。在批改的过程中，我发现学生除了根据对称图形的性质用待定系数法解答外，又出现了一种新的解法。这是我以前没有见过的，也是我以前没有想到的。现在把这两种解题方法摘录于下。

题目是：已知抛物线y= -x²-4x+5       

（1）求与已知抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式；

（2）求与已知抛物线关于y轴对称的图像的函数关系式；

学生根据对称图形的性质用待定系数法解答的过程是：

解：（1）当x=0时

y= -x²-4x+5= -0²-4(0)+5=5

所以，抛物线与y轴的交点坐标为A（0，5）

所以，A关于x轴对称的对应点是A_x（0，-5）

因为y=-x²-4x+5=-(x+2)²+9

所以，抛物线的顶点坐标B（-2，9）

所以，抛物线的顶点B关于x轴对称的对应点是B_x（-2，-9）

根据题意设抛物线的函数关系式为y=a(x+2)²-9，由题意得：

a(0+2)²-9=-5,     a=1

所以，抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式是：y=(x+2)²-9

即y=x²+4x-5  

（2）因为抛物线y=-x²-4x+5与y轴交点的坐标为A（0，5）

所以，A点关于y轴对称的对应点是A_y（0，5）

因为抛物线y=-x²-4x+5的顶点坐标B（-2，9）

所以，抛物线的顶点B关于y轴对称的对应点是B_y（2，9）

根据题意设抛物线的函数关系式为y=a(x-2)²+9，由题意得：

a(0-2)²+9=5,    a=-1

所以，抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式是：y=-(x-2)²+9

即y=-x²-4x+5  

学生的另一种解答方法是：

解：（1）由题意知：抛物线y=-x²-4x+5上的点（x，y）关于x轴对称的点为（x，-y）所以，-y=-x²-4x+5

即 y=x²+4x-5

（2）由题意知：抛物线y=-x²-4x+5上的点（x，y）关于y轴对称的点为（-x，y）

所以， y=(-x)²+4(-x)+5

即y=-x²-4x+5

很明显，学生根据对称图形的性质利用待定系数法的解答，无疑是正确的；而对于第二种解答方法，其结果无疑是正确的，但是解题过程否正确，我一时难以确定。根据学生的解题过程，我拟出以下的命题并给予证明。

已知抛物线y=ax²+bx+c

求证：（1）与已知抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式为y=-ax²-bx-c

即-y=ax²+bx+c。

（2）与已知抛物线关于y轴对称的图像的函数关系式为y=-ax²-bx+c

即y=a（-x）²+b（-x）+c 。

由于在平面直角坐标系中的对称除了关于x轴、y轴对称外，还有关于原点的对称。所以，我又补充了下面第三个问题。

（3）与已知抛物线关于原点对称的图像的函数关系式为y=-ax²+bx-c

即-y=a（-x）²+b（-x）+c 。

证明：因为y=ax²+bx+c=a(x+b/2a)²+(4ac─b²)/4a

所以，其顶点坐标为M(-b/2a， (4ac-b²)/4a)

所以，顶点M关于x轴、y轴、原点对称点的坐标为M_x(-b/2a， -(4ac-b²)/4a) 、M_y(b/2a，(4ac-b²)/4a) 、 M_o(b/2a，- (4ac-b²)/4a) 。

当x=0时,

y=ax²+bx+c= a(0)²+b(0)+c=c

所以，抛物线与y轴的交点坐标为N（0，C），

所以，N点关于x轴对称的对应点是Nx（0，-C）

所以，N点关于y轴对称的对应点是Ny（0，C）

所以，N点关于原点对称的对应点是N₀（0，-C）

（1）设与已知抛物线关于x轴对称的图像的关系式为y=a₁(x+b/2a)²-(4ac-b²)/4a

由题意知：抛物线经过点Nx（0，-C），

所以，-C=a₁(0+b/2a)²-(4ac-b²)/4a

所以 a₁ = -a

所以与已知抛物线关于x轴对称的图像的关系式为y=-a(x+b/2a)²-(4ac-b²)/4a

y= -ax²-bx-c.

即-y=ax²+bx+c.

（2）设与已知抛物线关于y轴对称的图像的关系式为y=a₂(x-b/2a)²+(4ac-b²)/4a

由题意知：抛物线经过点Ny（0，C），所以，

C = a₂(0-b/2a)²+(4ac-b²)/4a

所以 a₁ = ₌a

所以与已知抛物线关于y轴对称的图像的关系式为y=a(x-b/2a)²+(4ac-b²)/4a

y = -ax²-bx+c

即y=a（-x）²+b（-x）+c

（3）设与已知抛物线关于原点对称的图像的关系式为y=a₃(x-b/2a)²-(4ac-b²)/4a

由题意知：抛物线经过点N₀（0，-C），所以，

-c=a₃(0-b/2a)²-(4ac-b²)/4a

所以 a₃ = -a

所以，与已知抛物线关于原点对称的图像的关系式为y= -a(x-b/2a)²-(4ac-b²)/4a

y= -ax²+bx-c.

即-y=a（-x）²+b（-x）+c.

由以上的证明可以得出以下结论：

抛物线y=ax²+bx+c关于x轴对称的图像的函数关系式为-y=ax²+bx+c ；即 y= -ax²-bx-c ；关于y轴对称的图像的函数关系式为y = a（-x）²+b（-x）+c，即y = -ax²-bx+c ；关于原点对称的图像的函数关系式为y = -ax²+bx-c；即 –y = a（-x）²+b（-x）+c 。

由此可见，抛物线y=ax²+bx+c上的点（x,y）关于x轴对称的点（x,-y）是函数-y=ax²+bx+c上的点，关于y轴对称的点（-x,y）是函数y=a（-x）²+b（-x）+c上的点，关于原点对称的点（-x,-y）也是函数-y=a（-x）²+b（-x）+c上的点。

推而广之，同样能够证明出一次函数、反比例函数也具有与二次函数相似的对称特性：

（1）一次函数y=kx+b关于x轴对称的函数关系式为-y= kx+b，即y= -kx-b；关于y轴对称的函数关系式为y= k(-x)+b，即y= -kx+b；关于原点对称的函数关系式为-y= k（-x）+b，即y= kx-b 。

（2）反比例函数y=k/x关于x轴对称的函数关系式为-y=k/x，即y= -k/x；关于y轴对称的函数关系式为y=k/（-x），即y= -k/x；关于原点对称的关系式为-y=k/（-x），即y=k/x 。

由此可以肯定，学生们的第二种解答方法是正确的。

所以，我在前不久教学九年级《数学》（下册）第25章第一节《旋转》时，对第10页第8题：在平面直角坐标系中，将抛物线y=4x²绕原点按逆时针方向旋转180^０，求这时抛物线的函数关系式。我就要求学生运用上面的结论进行解答，原因是绕原点按逆时针方向旋转180^０实际上就是关于原点对称，而上述的方法又是正确的。结果学生解题快速且错误又少，效果非常好。

2011-11-23

参考资料

1、义务教育课程标准实验教科书《数学》（上册）九年级，《新时代数学》编写组编，上海科学技术出版社出版，2011年6月第3次印刷。

2、义务教育课程标准实验教科书《数学》（上册）九年级教师用书，《新时代数学》编写组编，上海科学技术出版社出版，2011年6月第3次印刷。

3、义务教育课程标准实验教科书《数学》（下册）九年级，《新时代数学》编写组编，上海科学技术出版社出版，2010年11月第4次印刷。

4、义务教育课程标准实验教科书《数学》（下册）九年级教师用书，《新时代数学》编写组编，上海科学技术出版社出版，2010年11月第4次印刷。

                          2011-11-23