这 样 解 题 正 确 吗
津里中学 杨光翔
2011年9月14日,我在上完九年级数学第22章《二次函数y=ax2+bx=c的图像和性质》的最后一课时,布置了第28页第11题作为课堂作业。在批改的过程中,我发现学生除了根据对称图形的性质用待定系数法解答外,又出现了一种新的解法。这是我以前没有见过的,也是我以前没有想到的。现在把这两种解题方法摘录于下。
题目是:已知抛物线y= -x2-4x+5
(1)求与已知抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式;
(2)求与已知抛物线关于y轴对称的图像的函数关系式;
学生根据对称图形的性质用待定系数法解答的过程是:
解:(1)当x=0时
y= -x2-4x+5= -02-4(0)+5=5
所以,抛物线与y轴的交点坐标为A(0,5)
所以,A关于x轴对称的对应点是Ax(0,-5)
因为y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9
所以,抛物线的顶点坐标B(-2,9)
所以,抛物线的顶点B关于x轴对称的对应点是Bx(-2,-9)
根据题意设抛物线的函数关系式为y=a(x+2)2-9,由题意得:
a(0+2)2-9=-5, a=1
所以,抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式是:y=(x+2)2-9
即y=x2+4x-5
(2)因为抛物线y=-x2-4x+5与y轴交点的坐标为A(0,5)
所以,A点关于y轴对称的对应点是Ay(0,5)
因为抛物线y=-x2-4x+5的顶点坐标B(-2,9)
所以,抛物线的顶点B关于y轴对称的对应点是By(2,9)
根据题意设抛物线的函数关系式为y=a(x-2)2+9,由题意得:
a(0-2)2+9=5, a=-1
所以,抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式是:y=-(x-2)2+9
即y=-x2-4x+5
学生的另一种解答方法是:
解:(1)由题意知:抛物线y=-x2-4x+5上的点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y)所以,-y=-x2-4x+5
即 y=x2+4x-5
(2)由题意知:抛物线y=-x2-4x+5上的点(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y)
所以, y=(-x)2+4(-x)+5
即y=-x2-4x+5
很明显,学生根据对称图形的性质利用待定系数法的解答,无疑是正确的;而对于第二种解答方法,其结果无疑是正确的,但是解题过程否正确,我一时难以确定。根据学生的解题过程,我拟出以下的命题并给予证明。
已知抛物线y=ax2+bx+c
求证:(1)与已知抛物线关于x轴对称的图像的函数关系式为y=-ax2-bx-c
即-y=ax2+bx+c。
(2)与已知抛物线关于y轴对称的图像的函数关系式为y=-ax2-bx+c
即y=a(-x)2+b(-x)+c 。
由于在平面直角坐标系中的对称除了关于x轴、y轴对称外,还有关于原点的对称。所以,我又补充了下面第三个问题。
(3)与已知抛物线关于原点对称的图像的函数关系式为y=-ax2+bx-c
即-y=a(-x)2+b(-x)+c 。
证明:因为y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac─b2)/4a
所以,其顶点坐标为M(-b/2a, (4ac-b2)/4a)
所以,顶点M关于x轴、y轴、原点对称点的坐标为Mx(-b/2a, -(4ac-b2)/4a) 、My(b/2a,(4ac-b2)/4a) 、 Mo(b/2a,- (4ac-b2)/4a) 。
当x=0时,
y=ax2+bx+c= a(0)2+b(0)+c=c
所以,抛物线与y轴的交点坐标为N(0,C),
所以,N点关于x轴对称的对应点是Nx(0,-C)
所以,N点关于y轴对称的对应点是Ny(0,C)
所以,N点关于原点对称的对应点是N0(0,-C)
(1)设与已知抛物线关于x轴对称的图像的关系式为y=a1(x+b/2a)2-(4ac-b2)/4a
由题意知:抛物线经过点Nx(0,-C),
所以,-C=a1(0+b/2a)2-(4ac-b2)/4a
所以 a1 = -a
所以与已知抛物线关于x轴对称的图像的关系式为y=-a(x+b/2a)2-(4ac-b2)/4a
y= -ax2-bx-c.
即-y=ax2+bx+c.
(2)设与已知抛物线关于y轴对称的图像的关系式为y=a2(x-b/2a)2+(4ac-b2)/4a
由题意知:抛物线经过点Ny(0,C),所以,
C = a2(0-b/2a)2+(4ac-b2)/4a
所以 a1 = =a
所以与已知抛物线关于y轴对称的图像的关系式为y=a(x-b/2a)2+(4ac-b2)/4a
y = -ax2-bx+c
即y=a(-x)2+b(-x)+c
(3)设与已知抛物线关于原点对称的图像的关系式为y=a3(x-b/2a)2-(4ac-b2)/4a
由题意知:抛物线经过点N0(0,-C),所以,
-c=a3(0-b/2a)2-(4ac-b2)/4a
所以 a3 = -a
所以,与已知抛物线关于原点对称的图像的关系式为y= -a(x-b/2a)2-(4ac-b2)/4a
y= -ax2+bx-c.
即-y=a(-x)2+b(-x)+c.
由以上的证明可以得出以下结论:
抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的图像的函数关系式为-y=ax2+bx+c ;即 y= -ax2-bx-c ;关于y轴对称的图像的函数关系式为y = a(-x)2+b(-x)+c,即y = -ax2-bx+c ;关于原点对称的图像的函数关系式为y = -ax2+bx-c;即 –y = a(-x)2+b(-x)+c 。
由此可见,抛物线y=ax2+bx+c上的点(x,y)关于x轴对称的点(x,-y)是函数-y=ax2+bx+c上的点,关于y轴对称的点(-x,y)是函数y=a(-x)2+b(-x)+c上的点,关于原点对称的点(-x,-y)也是函数-y=a(-x)2+b(-x)+c上的点。
推而广之,同样能够证明出一次函数、反比例函数也具有与二次函数相似的对称特性:
(1)一次函数y=kx+b关于x轴对称的函数关系式为-y= kx+b,即y= -kx-b;关于y轴对称的函数关系式为y= k(-x)+b,即y= -kx+b;关于原点对称的函数关系式为-y= k(-x)+b,即y= kx-b 。
(2)反比例函数y=k/x关于x轴对称的函数关系式为-y=k/x,即y= -k/x;关于y轴对称的函数关系式为y=k/(-x),即y= -k/x;关于原点对称的关系式为-y=k/(-x),即y=k/x 。
由此可以肯定,学生们的第二种解答方法是正确的。
所以,我在前不久教学九年级《数学》(下册)第25章第一节《旋转》时,对第10页第8题:在平面直角坐标系中,将抛物线y=4x2绕原点按逆时针方向旋转1800,求这时抛物线的函数关系式。我就要求学生运用上面的结论进行解答,原因是绕原点按逆时针方向旋转1800实际上就是关于原点对称,而上述的方法又是正确的。结果学生解题快速且错误又少,效果非常好。
2011-11-23
参考资料
1、义务教育课程标准实验教科书《数学》(上册)九年级,《新时代数学》编写组编,上海科学技术出版社出版,2011年6月第3次印刷。
2、义务教育课程标准实验教科书《数学》(上册)九年级教师用书,《新时代数学》编写组编,上海科学技术出版社出版,2011年6月第3次印刷。
3、义务教育课程标准实验教科书《数学》(下册)九年级,《新时代数学》编写组编,上海科学技术出版社出版,2010年11月第4次印刷。
4、义务教育课程标准实验教科书《数学》(下册)九年级教师用书,《新时代数学》编写组编,上海科学技术出版社出版,2010年11月第4次印刷。
2011-11-23