综述:首先需要明确介质,即是由大量微观粒子构成,除电子之外,其余粒子保持“静止”。当有电磁波入射介质时,电子因受电场和磁场的作用而发生运动,运动的电子激发和辐射电磁波。——这属于电磁波的散射问题。而场源(电子)和电磁场要发生相互作用,即大量粒子的集体效应(它们辐射的电磁场,同时也使入射电磁场发生改变),会导致总场偏离作用前的外场,从而出现电磁波的色散和吸收现象,且吸收功率等于散射功率。
知识说明:电子在洛伦兹力的作用下发生运动,于是激发和辐射电磁场。该场由两部分组成,分别是跟随电子一道运动的固有场和辐射场。只有辐射场对电子有作用力。该力包含两项:一项与粒子加速度成正比,方向与加速度方向相反,对应惯性力;另一项与加速度的时间导数成正比,对应辐射阻尼力。
1. 介质对电磁波的散射
在透明介质中,电子吸收入射电磁波的能量,向各个方向发出次波,即为散射。
1.1 自由电子对电磁波的散射
在日全食期间,太阳光不能直接到达肉眼,但我们却能看到太阳周围的白光,这就是太阳大气中的自由电子散射太阳光的结果,这时散射光的强度与电子密度成正比,于是人们常通过对散射光的测量来确定大气密度。
自由电子大气模型:(在大气中,不仅存在自由电子,而且存在电荷密度几乎相等的正离子,以维持整个大气的电中性。离子因其惯性较大,其运动速度和范围均远远小于电子。)作为一种近似,我们认为离子不动,电子在其平衡位置附近运动。关于电子在入射电磁波作用下的运动分析,进一步作以下假定:
(1)气体足够稀薄,不考虑电子与电子之间,电子与离子、中性粒子之间的相互作用。
(2)电子的空间位置和周期运动的初始相位随机分布,可以在处理单个电子运动的基础上,将它们发出的散射波的功率进行简单叠加。
(3)粒子运动速度远小于光速,采用低速运动近似。在此近似下,电磁波作用在电子上的电力远大于磁力;由于电子运动尺度远小于波长,于是可以略去电子运动范围电磁波电场的非均匀性;在计算电子的辐射功率时,可使用低速运动电荷近似。
(4)忽略辐射阻尼力。
于是,单个电子的运动方程如下:
,其中为电子相对平衡位置的偏移;为电场振幅;为电磁波的角频率。可得强迫振动解为
。
通过代入电偶极辐射的角分布和辐射功率公式,可得单个电子辐射的角分布和辐射功率为:,其中,为入射波电场(即电偶极矩)与径向方向(散射波的传播方向)的夹角;为电子经典半径;为入射波强度。
从观测角度,我们需要确定散射波的角分布。以自然光为例,有
——此即汤姆孙散射。可见,汤姆孙散射,散射波频率与入射波相同,强度与入射波频率无关,且强度角分布前后对称,与可见光的散射观测一致。(不过,对于X射线这样的高频电磁波,散射波的频率与散射角有关,散射波的波长相对入射波波长有一定的偏离。——此即康普顿散射——需用量子理论解释。)
1.2 束缚电子对电磁波的散射
地球大气对太阳光的散射属于束缚电子对电磁波的散射。为此,我们建立以中性院子和分子为主体的大气模型,该模型与前述自由电子大气模型有两点区别:一是,电子在原子或分子内部受到某种束缚力,采用原子的谐振子模型,该力被近似为指向原子中心的简谐力,其中为振子的固有频率,为电子相对平衡位置的位移;二是,考虑辐射阻尼力。粒子在入射电磁波作用下做受迫振荡周期运动。于是有
,对形如的强迫振荡解,方程化为
。解方程,可得
,进一步可求得单个电子辐射功率。即散射功率为
,相应的散射截面为
与自由电子散射情况的区别在于,散射截面与入射频率有关(只有当入射波频率时,此时辐射损失也因可予忽略,这种情况下,才与频率无关,回到汤姆孙散射结果)。当时,上式化为
——即低频散射截面与入射波频率的四次方成正比,随对应的散射称为瑞利散射。
地球大气中性粒子的固有频率远大于可见光频率,上式近似成立。因此,地球大气对可见光中频率较高的蓝光散射强(人眼敏感),使得天空呈现蔚蓝颜色。
2. 介质对电磁波的色散和吸收
2.1 物理模型
回顾上面研究束缚电子对电磁波的散射时,我们考虑了单个带电粒子的辐射场对粒子运动的阻尼作用,但忽略了粒子之间的相互作用;也忽略了粒子电磁场对入射波的影响。这类结果只适用于十分稀薄的气体。
对比较稠密的气体,必须计入粒子之间的相互作用,同时要考虑粒子电磁场对入射波的影响。——这是真正意义上的介质和场的相互作用问题。
带电粒子之间的相互作用一般划分为两种类型:一是带碰撞性质的近距相互作用,这时单个粒子的作用力场(包括电磁场)起主要作用;另一种是远距相互作用,单个粒子受到周围与之相距甚远的大量粒子的集体作用。作为简化,我们只考虑大量粒子的集体作用。——适用于不是十分稠密的气体。
这里,大量粒子的集体作用,从宏观上表现为大量施力粒子的合成作用力场对受力粒子的作用。在该合成作用力场中,起主要作用的是电磁场(其他粒子作用力场或为短程力(如分子力),仅限于粒子附近;或虽为长程力(如引力),但较弱)。如果我们将该合成电磁场计入总场,则这种相互作用就被自动计入。于是,问题重新归结为对单个粒子运动的分析,只不过宏观场源不能随意给定了!
具体处理,还需要作进一步地简化。首先,我们只考虑气体中电子的运动,假定其他粒子成分静止不动,即整个气体处于宏观静止,不受电子小范围振荡运动的影响;气体密度均匀,不受电子小范围振荡运动的影响。
2.2 定量求解
写出电子运动方程:
只是式中时谐电场为待求的合成电场。写出强迫振荡形式解为:
仿照电解质的处理办法,引入电极化强度P对大量电子诱导的场源进行宏观描述。由于代表电子相对平衡位置的偏移,由此产生的偶极矩为。设电子数密度为N,则
。这等效于引入如下介电常量()
,式中,即为复介电常量。
下面,我们把复介电常量代入电场波动方程
,求方程沿z轴方向传播的平面电磁波解:,式中,分别为复波数和复折射率。写成下面的形式,即
,将上面的表达式代入可得
,于是得到电磁场和粒子运动方程的最终解为:。
2.3 电磁波的色散和吸收
决定了电磁波的色散,由上式可求得电磁波的相速度为,由于与有关,不同频率成分将具有不同的相速度,从而引发电磁波的色散现象。
与电磁波的吸收有关,从上面的结果可以看出,不同频率的电磁波吸收程度不同。在附近(稍靠右侧),取峰值,电磁波受到强烈吸收。与共振散射相对应。对鼎泰电磁波而言,吸收导致电磁波沿传播路径衰减。
可以证明:吸收功率等于散射功率。从实验观测方面看,具有连续谱的电磁波投射到束缚电子上时,只是附近的信号出现强吸收;与此相应,在信号频谱上,在处将出现向下的脉冲。——即光谱分析中经常提到的吸收谱线。