初中数学分类讨论思想的探究

庄发加

（滁州市凤阳县官塘中学，707804654@）

摘  要：初中阶段是学生发展抽象思维的高峰期，而抽象思维中最典型的代表就是分类讨论思想。分类思想是初中数学思想方法中的重要成员，在近几年的中考考试题中，常常利用分类讨论来加大试卷的区分度。本文从分类讨论思想的形成和具体内容入手，分析分类讨论思想在初中数学教学中方法和具体应用，来提高学生解决数学问题的思维能力。

关键词：初中数学，分类讨论，抽象思维，典例

引  言：分类讨论思想是初中数学中一种非常重要而且常见的思想。在每年的中考试题中，常常利用分类讨论来加大试卷的区分度。本文从初中阶段涉及分类讨论的知识点入手，对于如何在教学中培养学生的分类讨论思想进行探讨，同时归纳了初中常见分类讨论的题型。

一、分类讨论的概念及步骤

数学中，把问题划分为若干情况，然后逐一求解的过程叫作分类讨论，也称分情况讨论。

解答分类讨论问题的步骤是：

首先，确定讨论对象以及所讨论的对象的全体范围；

其次，确定分类标准，正确进行合理分类，再对所分情况进行求解，获取阶段性结果；

最后，进行归纳小结，综合得出结论。

二、初中分类讨论的基本类型及教学建议

在初中数学中，涉及分类讨论思想的问题很多，题目也比较繁杂。那么这类问题有没有一种共性呢？教师在平时教学中要如何培养学生这一能力呢？在此，我总结了三点。

1.由于概念本身考查分类讨论思想导致应用分类讨论

初中阶段有不少涉及分类讨论思想的概念，教师应对这些概念有全面、系统、完整地认识。我看到过这样一个事例：某教师在讲授绝对值这一概念时，图一时的方便，教学生求一个数的绝对值只要把绝对值里面的负号去掉就可以了，如：，……结果出现了像这样的错解。究其原因，该教师没讲清绝对值这一概念，让学生对这一概念有了一个错误的认识：求绝对值只要去掉绝对值里面的负号。把学生引入歧途，害人不浅。这个问题要讲清楚，就需要分类讨论思想。该教师讲授的绝对值的概念非但错误，而且也抹杀了学生的创新精神和探索精神。所以，教师对概念的讲解必须准确、科学，特别是涉及有关分类讨论思想的概念，要让学生对这样的概念有正确的认识、理解。如，初中数学中两圆的五种位置关系是一个分类讨论思想的概念。在讲授两圆位置关系这一课时，教师可让学生准备大小不等的两个圆，让学生自己动手操作、归纳出两圆（半径不等）有哪几种位置关系。教师再加以归纳总结，得出两圆（半径不等）的五种位置关系：相离（外离、内含）、相切（外切、内切）、相交。这样既培养了学生的探索精神，又有助于学生牢固掌握两圆的五种位置关系。

2.由于问题中参数的不同取值引起的分类讨论

例如：已知一次函数和反比例函数 ，①满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图像有两个交点？②设①中的两个交点为M、N，试比较∠MON与90°的大小。

此题由于的取值会影响反比例函数的图像位置，导致交点数量不同，所以应该分类讨论。当为负时，两函数在第二象限和第四象限各有一个交点，不合题意；当为正时，如果联立所得方程有2个不同实数根，则在第一象限有2个交点，符合题意。

在本类问题的教学中，要做到使学生能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会造成哪些质的变化，即参变量的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出来，全面、系统地分类，并能正确求解。这是建立在有良好的知识结构和灵活、开阔的思维基础上的。教学中，要注意培养学生一丝不苟的学习精神、严谨的科学态度和辩证唯物主义的观点，充分发挥学生的聪明才智。

3.由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论

例如：等边三角形ABC的边长为10，点P沿A→B→C→A的方向运动，⊙P的半径为，⊙P运动一圈与△ABC的边相切多少次？每次相切时，点P分别在什么位置？

此类问题既考查学生图形认知的能力，也考察了学生的思维能力。在分类讨论时，教师也应同时培养学生抽象思维能力，提高数学解题技巧。

在传统的几何教学中，只凭借老师的口述和板书很难给学生带来具体的感受，也就是无法产生强烈的视觉效果。学生对所授课程的理解不深，就不能建构自己的知识体系。为解决这一问题，对几何图形进行直观的展示，多媒体的技术的优势尽显无遗。多媒体技术不仅可以显示动态的图像，使原本抽象的几何概念变得具体，更能体现几何概念的实用性，从而更好的解决问题。

三、初中阶段各类型经典题型

1.基本概念特性讨论，如绝对值、算术平方根等

例1（绝对值型）：若，为非零实数，代数式的所有可能的值为？

解析：根据题意，按，的符号，分4种情况讨论；每种情况下，利用绝对值的性质去掉绝对值，求出代数式的值；然后综合几个结果，得出结论。

解：根据题意，按，的符号，分4种情况讨论：

①>0，>0时，原式=++=1＋1＋1=3

②>0，<0时，原式=++=1－1－1=－1

③<0，>0时，原式=++=－1＋1－1=－1

④<0，<0时，原式=++=－1－1＋1=－1

综上所述，此代数式的值为3或－1。

2.含参数的分类讨论问题

例2（函数含参型）：函数与轴只有1个交点，求的值及交点坐标。

解析：本题没有说明是什么函数，所以可以为0，当时为一次函数，当时为二次函数。

解：根据题意

当时，函数为，与轴只有1个交点（）.

当时，函数为二次函数，此时或，交点为

（）或（）.

例3（方程含参型）：若方程是一元一次方程，求其解。

解析：可以让这个方程成为一元一次方程的方法很多，得一一讨论。

解：根据题意

当时，方程为，解为；

当时，方程为，解为；

当时，方程为，解为；

综上所述，此一元一次方程的解为或或。

3. 几何型分类讨论问题

例4（圆相关位置型）：（1）如图，⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（   ）

A. 

解析：两弦距离由两弦位置决定，当它们在圆心同侧时，距离为1cm；当它们在圆心异侧时，距离为7cm。（计算过程略）

例5（圆相关位置型）：半径为3cm的⊙与半径为4cm的⊙相切，则圆心距

解析：两圆内切时；两圆外切时。

例6（三角形形状型）：三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。

在我们的课本上还有很多分类讨论的问题原型，如等腰三角形、线段和角、相似形、动点问题等等，这里篇幅有限就不一一探讨了。

分类讨论思想是初中数学思想方法中的重要一员，有利于增强学生思维的条理性、缜密性和科学性。教师在教学中应结合教材，创设情景，强化需要分情况进行讨论的问题，启发学生积极独立思考问题，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。通过教师在平时教学中不停地渗透分类讨论思想，我相信学生的思维能力和学习能力都会有一定的提升。

参考文献

[1]宋凤英：《分类讨论思想---解数学问题重要思想之三[J]》，数学大世界（初中版），2013(04).

[2]何俊平：《初中数学分类讨论思想例题简析》，百度文库

[3]袁少建：《分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J]》，数学学习和研究，2015(03)。

[4]刘海琴：《分类讨论思想在初中数学解题中的应用[J]》，理科考试研究，2014(5)。