培养农村小学学生数学思维的实践路径初探

邱海侠

（六安市霍邱县门台小学，1024971774@）

摘  要：任何时代，数学学科思维的严谨性和逻辑性都是它的内涵，培养和发展学生的数学思维能力始终是小学数学学科教育的价值追求。而数学思维能力的形成是一个长期锻炼和累积的过程，是个系统的过程。为了高质量的培养农村小学学生的数学思维能力，在教学实践中，教师可以根据实际情况，适当拉长学业考核周期，分三个阶段从教学内容上分层次实施。阶段一：教学主要基于课本，少拓展，甚至不拓展，把时间更多的用来更改并养成学生数学学习行为习惯，为时半年；阶段二：教学内容稍有拓展，目的更多的是培养学生的思维意识和数学思维习惯；阶段三：课本更多的由学生自学完成，教师引导学生深度思考、深度学习。

关键词：数学思维能力，分阶段，拉长周期，农村小学，深度学习

引  言：数学的学习不仅在于把握数学知识，更要体悟知识背后蕴含的思想方法。数学思想方法是数学的力量所在，而“数学是锻炼思维的体操”。但是笔者于2017年9月接班XX小学三年级A班的数学教学任务，在与A班学生深入接触后，发现学生们没有学习的概念，没有上课的概念，学期期中、期末考，语文、数学都是乡倒数前三。可以预见接下来的数学课堂教学将面临非常大的障碍，教学进度难以推进。因为学生的思维能力无法与老师保持同频，他们不具备接受深度学习的基本素养。出于长远考虑，笔者设计了为期1年半到2年时间的系统提升A班学生数学思维能力的教学计划，即三阶段提升法。以期培养A班学生敢想、敢问、善思的意识和能力，为数学学习奠定心智基础。在周期未到时，学业考核只做参考，并不请求。如今，教学实验实施距今即将满二年，该篇论文就是结合教学实践具体介绍三阶段系统提升法的内容、并总结成果和不足，以及推广的程度；也是对培养农村小学学生数学思维能力的探索。

一、 三阶段系统提升法

表1  三阶段系统提升法

表2  2017年9月~2019年5月**小学A班数学学业成绩

注：学生共10人，测试卷满分100分，≥85分为优秀。

1.阶段1：数学学习行为习惯的养成

2017年9月那时，A班同学共10人，语文非常不好，很多同学考20多分，往往只有一位~二位同学及格，且是60多分。或许语文学习和数学学习是孤立、平行的二个学科；抑或，语文阅读能力差，最终结果是A班看不懂“解决实际问题”的题意。他们没有独立思考的意识和能力，做作业时不专注。学生逻辑思维能力的培养一定是在掌握数学知识的前提下进行，作为数学任课老师，这时有二种选择，第一种做法是是不管学生们基础，专注本学期教学任务。但会越教越吃力，成绩提高不了，思维水平也上不了台阶，无法进行深度教学，只能一直维持低水平教学。第二种做法是眼光长远，打牢基础。但代价也最高，可能导致三年级一学年的教学任务都完成不了，但四年级第一学期可以补上。往往打地基是最耗时、技术含量最低的，却也是非常非常重要，不可缺少和跨越的。于是笔者选了第二种，查漏补缺，打基础。采取的方法是多练，练习才能将知识内化，起到强化作用，并学会应用。笔者准备了一百五十道简单应用题和50道进阶应用题，共二百题，每次10~20题。这二百道应用题也并不是一定做完，而是看同学们做的情况，练的好了就结束，没练好就继续；也不是每天做，也是根据学生情况，每周做三次左右。有基本要求：第一，不准问任何人，包括同学、家人和老师等，只能自己独立完成，不会的可以不做，但要思考；第二，第二天早上按时交作业。笔者认真批改每个同学的每一道题，并对每个有问题的地方做批注，例如单位不加、不答、答不完整、书写不符合现代中国人的习惯（如从右往左写、从下往上写等）等。笔者批改好的作业发下去，同学们必须当天改正完成。如何保障？每个同学改正好后必须拿给笔者检查，笔者认定已完成才为数。为了避免笔者记不清哪些同学已改正完成，哪些没完成，导致有学生投机、有漏网之鱼，每个同学改正完成后都要当众把名字签到黑板上，受所有同学的监督。因为A班同学都是由家长接送，所以假使当天下午放学了还未完成，那么家长等待；或者家长先回家，一小时后再到校接。总之，改不完，走不了。家长也很配合，措施得以很好的实施和执行。这样做，第一，为了磨砺学生，懂得审题，审清题，不得马虎；第二，让学生们学会独立思考，专注；第三，为了要学生知道，数学作业必须按时做完，且按时改正；第四，规范答案，养成严谨的数学学习意识。

这里有个矛盾，即，正是因为同学们不会所以才让同学们做练习。可是他们怎么做的出来呢？这里老师要洞察，不是学生真不会，而是他不认真审题、不专注于思考。所以要提供一个他们能够专注下来的方法，那就是陪着。无老师或家长陪伴，让每个学生自觉听话、好好做作业、好好改作业，基本不可能。如果可以，他们的基础就不会差，这是学习习惯问题。所以就是老师陪着。家长陪，也不行，他无法根据学生情况来辅导学生，或者说，引导学生。老师长时间陪伴好几个好处：第一，三年级学生处于习俗水平，尤其是好孩子的道德定向阶段，受制于老师的“威严”，能安心完成作业，利于审题和独立思考；第二，也是做大量练习的关键之处，若想避免陷入题海就一定要每做一道题有每一道题的价值，做练习过程中，每个学生遇到的困难都不一样，一定要因生而异的进行指导，提高培养学生思维能力的效率、思考的深度。一个班10个学生，学生少，相似思维能力的学生少，没有共性，无法课堂上统一讲授，这是缺点。但它这时就是优点！正是因为人少，笔者可以采取分开教学、独立教学，基于对学生学习情况和性格情况的掌握，针对不同能力阶段的同学进行不同的引导，有的是直接“错了”自己找错误的地方；有点是“不愤不启，不悱不发”，有的直接点明错在哪里。大量练习能否从根本上起到作用，关键就在于有没有有效的反馈和引导，引导学生如何思考、还可以怎样思考。

教育就是一个周期长、见效慢的过程。要求老师要有规划，整个班级的教学难以往前推动的情况下，不能再以学期为周期，而是年，可能二年、三年；短期内见到的可能是糟糕的局面，A班在三年级一学年的数学期中期末考试中都是乡十几个班里的倒数前三，这时候老师要顶得住压力，更要暗自努力。要有耐心，能科学预判，不要急于求成，很可能在第一次期中考试中不会见到效果。更要有信念，培养过程是有规律的，时间到了效果自己就显现了。A班在四年级第一学期期中考试就脱离了乡倒数前三；后来的考试，不论发挥的好与不好，都稳定在5~7名。

这个阶段主要在课堂外强制发生。这个阶段要求老师做到以下这些：第一，及时批改作业、讲解作业，也就是反馈及时。第二，严格督查。采取有效措施确保在有限时间内全部完成，措施之一就是寻求家长的合作。这是给学生们形成一个认知：逃不掉。一定不要急，而且坚信是可行的，用一年甚至二年的时间来培养学生的思维。第三，陪伴。让学生安心做作业、思考。没有教师或家长，学习习惯也没养成，心里长草，是独立思考的大忌。因为不放心家长的陪伴效率，所以是我自己陪伴，直到家长把最后一名同学接走。这种陪伴维持了一整个学年。

2.阶段2：数学思维习惯养成

这个阶段主要是在课堂上发生，老师引导。

（1）关注现象背后的数学知识，培养学生数学感知能力

为了让学生找不到笔者上课的固定模式，无法提前做好“小抄”，笔者讲授新课都是在课本例题的基础上做出更改。例如，北师大版数学三年级下册第一单元第一课时“除法”第一个例题，“有桃子68个，平均分给2只猴子，每只分到多少个？”我会问同学们喜欢吃什么？普遍喜欢吃香蕉，笔者会改成“咱们班有39个香蕉，平均分给第一排的3名同学，每名同学分到多少个？”他们要明白，是桃子还是香蕉，是猴子还是人，不是问题的根本所在，而在于平均分配，在于一位数除法。举出学生生活中发生的事例，他们张口即出答案，这时候要引导他们把算式列出来，进行知识点的提炼和讲授，不仅能激发学生的学习兴趣，也能提高教学效率，更是可以培养学生的数学感知能力。

笔者都会以家庭作业的形式要求同学们预习，但并不是说提前把课本上的练习都做好了、做对了，就一劳永逸了，课堂上就不用思考了。课堂上请同学们到黑板演练的题目有的出自课本，但也是同学们还没看到的、没有提前准备的。且笔者有一癖好，请同学示意回答问题之前先观察有哪些同学已经会了，不找会的同学，只找不会的同学，这样笔者可以知道他遇到什么思维障碍了，帮他解决；当确实需要正确答案时，找会的同学补充。必须让学生意识到课堂上的内容都是新的，必须集中精力思考，方是唯一的通关之道。当学生不得不思考，思考慢慢就变成一种习惯了。

（2）质疑、批判精神

“学贵在疑”。为了培养学生的批判精神，笔者给同学们举外国一大学数学教授的例子，他上课总是板书错误的解题步骤，通过这种方式授课。笔者事前声明，笔者也不能保证所讲授、所书写完全正确，有时故意错，有时无意错，请同学们要常想“对不对”，自己思考下再判断。笔者借鉴苏格拉底的“产婆术”，常常顺着学生错误的思路给出错误的答案，让他自己发现错误。有的时候，学生没有思路，我也会给出固定思维下的错误答案，如5×3÷5×3=1。他们指出笔者错了，并指出正确答案是多少，以及笔者为什么错了，笔者会对他敢于怀疑老师并指出错误所在而大加赞赏。慢慢的，有时笔者确实是疏忽大意而犯错，他们会好心的指出来。遇到其他的事情，在该质疑的地方，他们也渐渐会发出质疑。

这里要提到判断题的重要性，尤其是错误的题，通过平时的训练，最终目标的要让每个学生不仅知道错在哪了，而且知道怎么改正，几种改正方法。通过这样的练习，可以锻炼学生思维，增强学生数学分析能力；也可以优化课题教学效果。一定要充分利用错误的判断题的教育作用，这样，问题引领，可以增强学生数学分析能力，发展学生核心素养，慢慢的，能够进行深度思考。

（3）发散思维

课程目标着眼于儿童现实和长远发展，发散思维是创新思维的必备思维能力。小学数学教育的最终目标是发展人，发展人的思维、培养现代社会每一个公民应该具备的数学核心素养，创新思维是核心素养之一。首先要求老师自己的思维要开阔，有很多的解题角度和方法。其次，精心设计问题，问题本事不一定精致，但每个问题有每个问题想要达到的目标。不是知识加深，是对于教学知识理解上要深，学生思维活动要深。这里强调利用好选择题，引导学生思考其他选项为什么不对，怎么修改选项，以及什么条件下选项对。教师要善于创设问题教学氛围，因势利导，加强小学生的问题分析训练，旨在进一步增强小学生数学分析能力。

3.阶段3：深度学习

这个阶段同时包含课下预习和课堂与老师的探讨学习。

（1）强调知识的自我获得，培养学生自主探究能力

“再创造数学”教育理论强调知识的自我获得。数学是最容易创造的一种学科。它实质上是人们常识的系统化。教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己去发现或是“再创造”出各种运算法则和各种定律。

这里强调重视规律性知识的学习，可以达到如下目的：（1）非常好的数学思维能力；（2）学生自己发现知识，而不是老师在讲；（3）让学生体会到成就感，不讨厌数学，甚至爱上数学；（4）磨砺学生意志，这是非常好的培养学生钻研精神的机会。由浅入深的提问，能够在一定程度上反映出数学问题的本质。因为待学生一番思考与交流沟通后，可以透过现象的表象，而认识到背后的数学。

例如：三角形、四边形的内角之和都是动手拼的，他们自己会问五边形，笔者也让他们拼，并且把内角和写出来。到这里，有部分学生已经开始猜想它们之间有关系了。出于对班级同学的了解，有几个同学是能够想到其他方法的，但是笔者不点明还有其他方法，他们自己还未有意识地往其他方法上想，到了“不愤不启，不悱不发”的时候，所以笔者即问了句“还有没有其他方法，不拼能不能算出五边形的内角和？”真有三个男孩子想到了，说把五边形拆成一个三角形和一个四边形。这个时候笔者请所有同学不再使用拼的方式发现四边形、五边形的内角和，而是从上到下按顺序把三角形、四边形、五边形画出来，以三角形为基础，用添加辅助线的方法计算出四边形、五边形的内角之和。一大半同学都发现四边形是2个三角形，5边形是3个三角形。同学们很激动，说六边形是个三角形。四年级学生能够做到这一步真的是非常不错。但是，他们也隐隐的知道，只知道这些还不够，于是笔者说了句：“是的，七边形是5个三角形。那么一百边形有几个三角形呢？”所以他们不仅要知道有几个三角形，还需要知道平面图形边数与分成的三角形个数的关系，进而求出平面图形内角和与边数的关系。在笔者教授学生这些的时候，笔者已经不再需要顾虑他们能不能跟得上思路、听不听得懂了。学生的思维已经可以和笔者上课思维保持同频，一堂课能否出彩，反而更多的是考验和要求我自己的教学水平了。

（2）重视实践性单元

培养学生自己动手的意识，刻入血液。发展学生的空间观念。加强对学生实践能力和创新能力的培养。

  表3  2017年9月~2019年5月**小学A班数学学科实践性单元学业成绩

注：学生共10人，测试卷满分100分，≥85分为优秀。

例如，北师大版四年级下册第四单元《观察物体》，由具体运算阶段向形式运算阶段转变。如何做好这个工作，很好的实现教学目的？不要怕花时间！四年级是儿童思维发展处于重要转折阶段，借助村小学生少的优势，在学课本新课和做课本习题，以及练习时，要求学生一个个摆。借助大量具象物体的冲击，学生慢慢的就可以脱离实物想象了。这单元的知识点和习题做完、讲解完、订正完，下面就是测试了。笔者是从不向学生提前通知测试。记得测试时，有个同学举手问：老师，我可不可以到摆一摆？笔者当时是高兴的。第一，“动手摆一摆”这个思维已经进入同学们的意识了。第二，笔者觉得这个向同学们点明“抽象思维”这个词的绝佳时机。笔者拒绝了这位同学的请求，但是笔者仔细的解释了为什么不行、以及为什么不考试反而一定要摆。因为练习是为了学习，学习由形象思维转向抽象思维；而由摆到不能摆，就是这个过程的完成。测试就是为了检测你们的抽象思维形成了没有，所以不能摆。这次测试满分100分，额外附加题10分，在此以100+10分形式呈现试卷总分，这位同学测试成绩是97+10分。

还有一个例子是北师大版四年级下册第六单元《数据的表示和分析》，其中有一道题是要求学生测量自己种植的蒜苗的高度。同学们一致强烈的表示“老师，这道题我们做不了，我们没种蒜苗。”学生们能自己提出这个现实矛盾，非常难得。老师既要肯定他想到自己去种植、去实践的能力，也趁势告诉他科学家也就这样工作的，一次次的实验、一次次的测量。一次统计时间点出错，很多的实验都要重新做，严谨、繁琐，但伟大。对学生从小培养科学精神，他们自然不会觉得科学家离自己很遥远，反而可能种下科学家的苗。更要实际行动支持他们！我们最终商量决定，等蒜苗种植出来再做这题。他们有人说第二天种植，但经笔者提醒，他们考虑到了种植的时节问题，最终决定来年再回头做这道题。后面的学习，再次遇到需测量自己种植的蒜苗的练习题，笔者表示和上次的题目放一起明年做。无声的告诉他们笔者说的是真的，明年真的回头学，他们需要真的把种植这件事放心上，并去落实。

二、成果

成绩上的变化并不能完全体现成果，更多的是体现在学生数学基本素养和自学能力上。现在教学，都是学生走在笔者授课之前。笔者针对他们做练习的情况判断他们自学的盲点，课堂上进行讲解；以及笔者带着学生对于知识点进行深度挖掘分析，并和当代的生活与新科技相串联。三年级时，一个学年未能够把二本课本学完；而到了四年级，在学三年级遗留的教学任务的基础上，依然时间充足，学有余力。

三、不足、试用范围

笔者文中样本非常少，故而可以个别教学，打牢基础；但是已经耗时很多。正常规模班级教学，在后进生的辅导上，老师可能更多的要借助家长的力量和其他帮助。但整篇论文中提及的三阶段用于其他班级和年级同时有效。

需要强调的是，虽然笔者拉长了教学周期，改以二年做周期，但这是因为笔者可以保证二年内都会任A班数学老师，可以完成这个周期内的教学任务，而且会很好的完成。完成自己任期内的教学任务，这是拉长周期的前提和底线。如果无法保证，除非是个教学团队，能够很好的接任，否则不建议如此实施。

参考文献

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