“一题多解”提升学生数学素养发展
贾功平
（六安市霍邱县第二中学，hqjgp66@）
摘 要：倡导“一题多解”，不仅能够巩固基础知识，培养学生创新意识，同时还能够激发学生学习兴趣，进一步激发学生不断探索问题，勇于挑战自我，是促进学生核心素养发展的十分有效的途径。
关键词：数学素养；一题多解；促进发展
引 言：在数学教学中，教师有目的的引导学生倡导“一题多解”，不仅能够巩固基础知识，培养学生创新意识，同时还能够激发学生学习兴趣，进一步激发学生不断探索问题，勇于挑战自我，是促进学生核心素养发展的十分有效的途径。本文就在数学教学中通过“一题多解”方式来促进学生的数学素养发展，谈谈自己的感想。
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”。[1] 2014年3月30日，教育部发布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》明确提出，“研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准”，“明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”以及“学校要从实际情况和学生特点出发，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中”。[2]2017年1月10日国务院发布的《国家教育事业发展“十三五”规划》指出，“从中小学做起，注重激发学生学习兴趣、科学兴趣和创新意识，加强科学方法的训练，逐步培养学生逻辑思维与辩证思维的能力”。[3]
在数学教学中，教师有目的的引导学生倡导“一题多解”，不仅能够巩固基础知识，培养学生创新意识，同时还能够激发学生学习兴趣，进一步激发学生不断探索问题，勇于挑战自我，是促进学生核心素养发展的十分有效的途径。
一、“一题多解”培养学生创新意识，激发奇思妙想
所谓“一题多解”，就是要求学生从不同角度、运用不同的思维方式解答同一道题的思考方法。它不仅要求学生熟练应用所学知识，同时还要求学生有灵活的头脑——思维。通过一题多解，学生经常会出现不可思议的“奇思妙想”，提出新颖、独特、更为简捷合理的解题方法。通过类比或推广对某些定理、公式的结论进行深化和延伸。在已有的基础上，通过改变或重组已知条件和结论之间的联系，获得新的结论。[4]
【案例一】
如图1-1，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡D处挖去部分坡体（用△BED表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为_______米？（直接写出结果）
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AC＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？（结果精确到，参考数据）
图1-1
对于本例中的第（2）题，常规解法是过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，分别求出DP和PA，然后在矩形DPGM中，求出MG和DM．最后在在Rt△DMH中，求出HM，进一步求出GH．
提倡一题多解后，就有学生给出了下面的解法：
①连接CD（如图1-2）。首先说明C、D、H三点在同一直线上，然后在Rt△CGH中，利用三角函数求出GH，方法简捷。
②延长HD（如图1-2）。只要说明直线HD经过点C，然后在Rt△CGH利用三角函数求出HG，方法也比较简捷．
③过点A作CG的垂线，交DH于点N，连接BN并延长，交HG于点Q（如图1-3）。先说明△AND是等边三角形，得到AN＝BC，进一步判断四边形ANBC是矩形，得出BN∥CA，BN⊥HG。最后在Rt△HNQ中求出HQ。
图1-2 图1-3
以上解法，都要比图1-1中的常规解法简捷新颖，学生的创造性思维得到培养，值得提倡。但是，也有部分学生在追求一题多解时，提出了一些不合理不正确的猜想（如图1-4和图1-5）。
在图1-4中，连接AH，认为△AHG是含有30°角的直角三角形，或者认为△ADH是含有30°角的直角三角形。在图1-5中，连接AM，认为△AMG是含有30°角的直角三角形，或AM∥DH．虽然这些猜想是错误的，但教师要积极鼓励学生充满自信，不怕挫折，敢于想象。创造性思维往往是从胡思乱想开始的，没有胡思乱想，就没有奇思妙想。[5]
图1-4 图1-5
美国心理学家、教育家布鲁纳指出：“探索是数学的生命线。”学生要进行创新，首先要勇于开拓，勤于思考，敢于质疑。敢于和善于发现问题与提出问题，大胆提出猜想。要有敢于批判、勇于探索的精神，对于猜想进行反复的研究和思考。
二、“一题多解”激发学生学习兴趣，敢于挑战自我
教师在日常的数学教学中，适当布置一些少而精的题目，开展“一题多解”解题思路比赛，不仅可以有效地巩固数学基础知识和数学基本方法，更能提升和培养学生的创新意识，同时还能够根据学生的好胜心理，激发他们学习和探究数学问题的积极性，让学生不知不觉地参与到数学学习活动中。学生在“一题多解”的探究活动中，不断超越自己，不断挑战自我，创新思维意识不断提升。
【案例二】
如图2-1，AB是半圆的直径，∠ABC的平分线交半圆于D，AD和BC的延长线交于圆外一点E，连接CD．
（1）求证：△EDC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
图2-1 图2-2
对于本例，常规的解题思路是：
第（1）小题，根据圆周角定理，由AB是半圆的直径得∠ADB＝∠ACB＝90°，加上∠ABC的平分线交半圆于D，根据等腰三角形的判定得BA＝BE，再根据等腰三角形的性质得AD＝ED，即可得到CD为直角三角形ACE斜边上的中线，因此可判断△EDC是等腰三角形；
第（2）小题，先在Rt△ABC中计算出AC＝4，利用BE＝BA＝5得到CE＝EB－CB＝2，利用勾股定理，在Rt△ACE中计算出AE，利用三角形面积公式得到，再证明△ECD∽△EAB，利用相似的性质求出，然后利用四边形ABCD的面积＝进行计算．
第（1）小题，除了参考答案中利用Rt△ACE斜边上的中线等于斜边的一半，推导出△EDC是等腰三角形外，还有：
①先证明△ABE是等腰三角形，再利用△ECD∽△EAB，推导出△EDC是等腰三角形；
②先证明△ABE是等腰三角形，再利用圆内接四边形的性质，得到∠ECD＝∠EAB＝∠E，推导出△EDC是等腰三角形．
第（2）小题，思路一：四边形ABCD的面积＝．此思路又分下面几种方法：
①先求出△ABE的面积，再利用△ECD∽△EAB，求出△ECD面积；
②先求出△ABE和△ACE的面积，再根据AD＝DE，得；
③如图2-2，先求出△ABE的面积，再作DG⊥CE，垂足为G，由DG是△ACE的中位线，得，求出△ECD面积．
图2-3 图2-4
思路二：四边形ABCD的面积＝．此思路也分下面几种情况：
①先求出△ABC和△ACE的面积，再根据AD＝DE，得；
②如图2-3，连接OD，交AC于点F，由垂径定理得点F是AC中点，OF是△ABC的中位线，得，，然后分别求出△ABC和△ACD的面积；
③如图2-4，作DF⊥AC，垂足为F，由等腰三角形的“三线合一”性质知点F是AC中点，DF是△ACE的中位线，，然后分别求出△ABC和△ACD的面积；
可以看出，不同的解题方法，用到的知识点不同。如果教师抓住契机，开展解题方法比赛，就能极大地调动学生解题积极性，不仅巩固所学知识，提高分析问题解决问题的能力，也提升了学生的应用意识和创新能力，真正体现了“在用中学，在学中用”。但是，在本题证明中，也出现了不少学生为了追求“新奇”解题方法，造成没有根据的想当然．如：
在第（1）小题中，认为△ACE≌△BDE，得到CE＝DE；或CD是Rt△BDE的斜边中线，得到CD＝CE；或AE＝BE，DC∥AB，等等．
在第（2）小题解答中，认为连接OC，就有OC垂直平分AB；连接OC，四边形AOCD是菱形；或者认为四边形ABCD是等腰梯形；……等等．
总之，教师在教学中引导学生对问题进行多角度、多方面分析、思考，层层探究，不仅有助于学生加深对知识的理解，而且也有助于学生寻求多种解决问题的方法。“一题多解”可以激发学生潜能，培养学生学会数学地发现问题、思考问题，并能通过自己的解决问题，有效地培养学生思维的广阔性、深刻性和灵活性。教师要鼓励学生在解题过程中提出数学猜想，提出新的见解、遇见新的事实和揭示新的规律。教师还要鼓励学生对自己的解题思路、解题方法进行批判反思，在反思中总结升华，形成“探索—反思—创新”的学习模式，以扩充、完善自己的知识结构和认知结构，最终实现自我创造。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部：《义务教育数学课程标准》（2011年版），北京师范大学出版社2012年1月第1版。
[2]教育部：《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，教育部政务网
[3]国务院：《国家教育事业发展“十三五”规划》，中国政府网
[4]蒋海燕：《中学数学核心素养培养方略》，山东人民出版社2017年5月第1版。
[5]孙宏艳：《对话：家庭教育高端访谈实录》，教育科学出版社2014年01月版。
