借助直观走进“有余数的除法”
陆超
（滁州市凤阳县考城小学，742756809@）
摘要：借助直观引导学生在平均分若干物体的活动中认识余数，探索并掌握有余数的除法的相关知识。
关键词：直观 探索 引导
引言：“有余数的除法”是在学生掌握表内除法的基础上的延伸和扩展，关于怎样引导学生利用原有知识探索有余数的除法的解题策略。
“有余数的除法”是苏教版数学二年级下册第一单元教学内容，主要是引导学生认识有余数的除法，理解有余数除法的意义，探索学习有余数除法的求商方法及竖式计算方法。教材在编排上通过探索“平均分”的操作发现，即有时正好分完，有时还有剩余的情况引出有余数的除法，并理解“余数要比除数小”。而对于有余数除法的竖式计算是借助于直观联系学生的已有知识和经验，通过观察、操作、小组合作的方式经历探索除法竖式的书写过程，理解有余数的除法的求商方法。除此之外，教材还十分重视解决实际问题的教学，引导学生从具体的问题情境出发，经历“提出有余数除法的问题——联系除法含义列出算式——根据有余数除法的求商方法算出结果”的过程，使学生掌握解决实际问题的基本思路和基本方法。
学生在学习“有余数的除法”之前，虽然能够熟练的掌握表内除法的知识，但是对余数的理解不是太明白，以及余数与除数之间的关系掌握的不是很熟练（见图1、图2、图3）。
图1
图2 图3
不仅如此，学生在运用有余数的除法解决简单实际问题的时候，对所列算式中的单位名称易写错，以及最后商要不要加1的问题掌握起来有一定的难度（如图4、5）。
图4
图5
一、学生学习“有余数的除法”易错的原因。
1.算理与算法没有弄明白，所谓“算理”,就是计算过程中的道理，解决“为什么这样算”的问题。算法就是计算的方法，解决“怎样算”的问题。[1] 如学生在计算22÷5时存在以下问题（如图6、7）
图6 图7
弄错了被除数和除数与商的乘积的减数关系，应该是被除数减去除数与商的乘积，多出来的才是余数。因此，学生在利用除法竖式计算时，要注意两点：一要准确试商；二是余数一定要比除数小。
2.学生学习教学知识容易单纯的模仿，《数学课程标准》明确指出“有效地数学学习活动不能单纯依靠模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”[2] 教学中应借助于各种直观教具适当的让学生进行动手操作，不仅能有效解决数学知识的抽象性，而且对激发学生的学习兴趣，提高动手操作的能力，进而培养学生合作探究意识和数学思维发展有重要的意义。
3.“有余数的除法”在解决问题的实际运用中存在类型较多，大多学生难以区分。例如，把30个鸡蛋装进相同的盒子里，如果每个盒子装7个，那么需要多少个盒子才能把这些鸡蛋全部装完？学生在解决这一类问题时，易写成30÷7=4（个）……2（个）这一步，本题错在商没有加1。经过计算，结果是商4余2,4表示满4个盒子，余数是剩下的2个，余下的2个还需要一个盒子，所以4还要加1是5个盒子。运用有余数除法的知识解决实际问题时，要结合问题具体分析，是否用商加1。求“至少”需要多少这样的问题一般商需要再加1。
4.“有余数的除法”知识点相对复杂，学生在短时间内建构掌握有一定的困难。因此，教师在教学时需要顺应儿童认知的规律在层层递进中引导学生理解掌握，不能急于求成。
二、借助直观融合教学，在层层递进中实现智慧生成。
1.基于直观，探索“有余数除法”的意义。
从学生已有的知识和经验出发，帮助学生在操作和交流中充分感知平均分后有剩余的现象，体会其与“正好分完”的联系与区别；引导学生通过填写表格对每次操作的过程和结果进行整理、概括、归纳。
例如，教学例1：把10支铅笔分给几个小朋友，每人分得同样多，可以怎样分？师提问：你能举个例子说说什么是“每人分得同样多”吗？（让学生用自己的语言理解题意中的“每人分得同样多”，可以每人分2支、3支…然后在学生充分发表意见的基础上呈现表格，并要求学生记录操作结果，这既有助于学生观察比较，又便于学生养成有序思考的习惯。）
学生通过对表格的观察、分析，把平均分的结果进行分类，找到分的结果的相同和不同之处有助于学生对新知的建构。在此基础上指出：像这样平均分后有剩余的情况，也可以用除法算式表示，如“10支铅笔，每人分3支，可以分给3人，还剩1支，”写成除法算式是：10÷3=3（人）……1（支）。师讲解有余数的除法算式的含义，引导学生联系分铅笔的操作，对算式各部所表示的意思进行解释，进而对有余数除法的含义形成正确而清晰的认识。
2.利用直观，建构“有余数除法”的笔算。
在教学“有余数的除法”时，笔者借助直观学生利用没有余数除法的竖式计算方法，迁移类推到有余数的除法竖式计算中，而且学生自觉性更高，更能积极主动的探究。例如，笔者在教学12个苹果，每5个放一盘，可以放几盘？还剩几个？这里先出示教学图片，让学生观察讨论商应该是几，并尝试把竖式写出来，再根据学生试写的情况让学生辨析：你认为谁的竖式的写法是不合理的，谁写的是正确的（如图8、9、10）。
图8 图9 图10
通过交流，明确：求12除以5的商，要看“12里最多有几个5”，因为12里最多有2个5，所以商是2。接下来，继续通过师生对话完成竖式，并引导学生联系把12个苹果每5个一份平均分的过程，说说竖式中各数分别表示什么（如图11）。
图11
最后引导学生回顾用竖式计算“12÷4”和“12÷5”的过程，说说这两道竖式有什么相同和不同，以帮助学生更好地理解用竖式计算除法的过程，以及求商的思考方法。
3.自我反思，内化提升。
运用“有余数除法”的知识解决实际问题，要根据实际情况来决定余数的“取”“舍”。问题导入：参加野营小队的共有17人，每顶帐篷住3人。需要搭多少顶帐篷？在解决这一问题时，笔者尝试先让学生先自主独立列式17÷3=5（顶）……2（人），一少部分的学生能够依据直观和自我反思，了解到问题的实际情况，知道问题的结果最后需要加1；一部分学生只列出第一道算式，并没有明白要加1 的道理。针对这种情行，笔者直接利用课件直观的把解决过程演示给学生，借助生活实际让学生明白，如租车、租船、用油桶装油等问题，计算后有余数，要把商加1作为最后的结果。哪怕余数是1，回答时也要在商上加1作为结果。这样学生依据生活经验，在自我探究，自我反思中，把所学知识内化提升。
参考文献
[1]《新版课程标准解析与教学指导》北京师范大学出版社 第152页2012年7月
[2]《数学课程标准（实验稿）》京师范大学出版社 第17页2001年7月
