基本图形在几何解题中应用一二例

何家欣 

（六安市霍邱县第三中学，525941448@）

摘  要：初中几何教学中，常常会遇到学生不会分析问题的情况。有些问题仅仅是和书本上例题相同只是改变一个结论，有些问题是显而易见的，但是有些同学不善思考，总是不得法。笔者在回答学生疑惑后，总有同学会有这样的疑问：你是怎样想到这样做，为什么我想不出来，或者有些同学干脆会直接问辅助线的添加方法有哪些？本文举出几个基本图形在几何解题中的应用，可以事半功倍，这样课堂效率得到提高，从而圆满完成教学目标。

关键词：基本图形，构造，分析，剖离

初中几何教学中，常常会遇到学生不会分析问题的情况。有些问题仅仅是和书本上例题相同只是改变一个结论，有些问题是显而易见的，但是有些同学不善思考，总是不得法。笔者在回答学生疑惑后，总有同学会有这样的疑问：你是怎样想到这样做，为什么我想不出来，或者有些同学干脆会直接问辅助线的添加方法有哪些？教师如果把各种辅助线添加方法都列举出来，但是学生仍然一知半解，云里雾里。因为有时列举出的方法不一定都是适合本题的，那么就会产生新的问题，如何选择怎样的基本图形。更多的时候老师对于辅助线的教学都是经验的讲解，这样的讲解缺乏科学性。实际上辅助线的添加是有规律性的，这就需要教师在讲授几何图形时要注意渗透基本图形的教授。让学生学会识别、理解、变式、掌握基本慨念、定义、定理的图形，让学生学会分析几何图形，尝试从复杂的图形中剥离出若干个基本图形。尝试让学生学会根据已知图形、已知、定义、定理、结论等去构造或补充完整的基本图形。

那么基本图形是什么呢？众多的作者结合自己的实践经验提出了对几何基本图形不同的理解。杨之等人认为几何是研究（空间性质所寄寓的）几何图形性质的学科，它的每个概念、命题、公式、法则，都关联着一个图形，这个图形就是这知识的直观体现、代表，它们密切相关。基本的几何知识（概念、命题公式、法则）关联的图形，就简称为基本图形。李美华、桂文通、张英都认为：平面几何基本图形可以看成是现行初中几何课本中的概念、性质、例题、典型习题所对应的图形。徐方瞿认为：在几何问题的分析中，组成一个几何问题的图形的最简单，最重要，最基本的，但又是具有特定的性质，能明确地阐明应用条件和应用方法的图形，称为基本图形。

综合以上笔者认为基本图形可以分为两类：一类是有基本定义、定理关联的图形。二是常见的题型即有多个定义或定理组成有明显特征的图形。

对于基本图形的剥离，应把从条件出发的和从结论出发的相结合，这个过程又可以分解为以下几种情况：

1.题目条件简单的可以直接依据题设条件或结论剖离，挖掘图形中隐藏信息，然后解决问题；

2.基本图形无法直接剖离的，可做辅助线来构造，然后再依据基本图形解决问题；

3.对于有些复杂问题中，可以逐步剖离出若干基本图形或者构造几个基本图形，再来解决问题。

初中平面几何的基本图形有很多，没有办法一一列举，本文章就近几年安徽中考的一些题和自己在教学过程中的一点体会进行梳理和归纳，希望能得到各位专家的指导指正。

一、平行线平行线、角平分线、等腰三角形（“知二求一”）

【已知】如图，① AC//OB；② OC 平 分∠AOB；③OA=AC.

【应用】三种情况①②③，①③②，②③①.

【例题】在沪科版七年级下学习平行线的性质时候，有这样一道例题：如图，已知//，，点是射线上一动点（与不重合），分别平分和，交射线于点.（要有推理过程，不需要写出每一步的理由）

（1）求的度数;

（2）试说明：;

（3）当点运动到使时，求的度数。

【解析】本题是平行线性质和角平分线的性质的综合应用。在七年级刚刚接触几何图形，确实比较难。本题的第（2）问就平行线和角平分线的模型。

（2）=,=.然后根据角平分线性质即可解题。如图：

【应用】下面是2012年安徽中考第22题节选。

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求线段BG的长；

（2）求证：DG平分∠EDF;

解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，

∴DEAB，DFAC。

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，

∴BG=AC+AG。

∵BG=AB－AG，

∴BG=。

（2）证明：BG=，FG=BG－BF==， 

∴FG=DF。

∴∠FDG=∠FGD。

又∵DE∥AB，

∴∠EDG=∠FGD。

∴∠FDG=∠EDG。

∴DG平分∠EDF。

【评析】该题的第（2）问就是典型的平行线、角平分线模型中的已知平行线、等腰三角形求角平分线。

二、正方形的半角旋转问题（全等或相似图形的旋转）

【已知】在正方形ABCD中，∠EDF=45°

【求证】EF=AE+CF.

【特征】如上图，该基本图形的特征在于是三角形全等，中间的三角形可以看成是两侧的三角形拼在一起，即可以拼成,但是无法从DF上找一点分割来证明。故用旋转到位置上即可。

【应用】如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，且EF=，点G、H分别边AB、CD上的点，连接GH交EF于点P。若∠EPH=45°，则线段GH的长为（      ）.

A.   B.        C.      D.

【解答】过点B作BM∥EF，BN∥GH,连接MN，由于AD∥BC,AB∥CD,得四边形BFEM、 四边形BNHG都是平行四边形，

∴BM=EF,BN=GH,

把Rt△BAM绕点B逆时针旋转90°得到Rt△BCP，

易证 Rt△BAM ≌Rt△BCP，根据勾股定理，

易得AM=1,PN=MN=NC+CP=AM+CP=1+ CP,

又

得

得

答案：B.

【推广】例如2014年安徽卷的第23题的第（2）（3）两小题都是这种半角旋转的应用，不过不是正方形了。只不过把原来的的条件转换成。如果能够把这一基本图形剖离出来那么问题就迎刃而解了！

【应用】23．（14分）(2014年安徽省)如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．

（1）①∠MPN= 60° ；

②求证：PM+PN=3a；

（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；

（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．

【解答】

解：（1）略．

（2）如图2，连接OE，

∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，

∴AM=BP=EN，

又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，

在△ONE和△OMA中，

∴△OMA≌△ONE（SAS）

∴OM=ON．

（3）如图3，连接OE，

由（2）得，△OMA≌△ONE

∴∠MOA=∠EON，

∵EF∥AO，AF∥OE，

∴四边形AOEF是平行四边形，

∴∠AFE=∠AOE=120°，

∴∠MON=120°，

∴∠GON=60°，

∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，

∴∠GOE=∠DON，

∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，

在△GOE和∠DON中，

∴△GOE≌△NOD（ASA），

∴ON=OG，

又∵∠GON=60°，

∴△ONG是等边三角形，

∴ON=NG，

又∵OM=ON，∠MOG=60°，

∴△MOG是等边三角形，

∴MG=GO=MO，

∴MO=ON=NG=MG，

∴四边形MONG是菱形．

再比如2020年安徽卷的第23题的第（3）题可以利用等腰三角形半角旋转构造。

【应用】23.（2020年安徽）如图1.已知四边形是矩形。点在的延长线上.与相交于点,与相交于点

如图2,连接,求证:

【解答】过作垂足为则

        ≌

        即

【评析】从结论可以看出需要构造等腰直角三角形，另外需要截长补短法，然后利用等腰直角三角形的半角旋转解决即可。对于本题需要挖掘题目中隐含的信息，有的更多是执果索因的证明。可以培养学生的逻辑思维。

     综合上述所知，初中平面几何教学应该注意渗透和引导基本图形。科学规范的对几何问题研究，积极引导学生对基本图形的思考和总结。培养他们对基本图形的剖离、分解、提炼、重组和建构。教学过程中教师要精心设计，注意课堂教学的预设和生成，让学生自己总结基本图形的类型和方法，提高学生的识图和分析图形的能力。通过基本图形的教学还可开拓解题视野，培养学生的发散性思维。因此，我们在今后的几何教学中要重视训练学生基本图形的能力，培养学生认真仔细分析，善于抓住主要矛盾从而达到有效提高课堂效率，圆满完成教学目标！

参考文献

[1] 义务教育数学课程标准（2011 年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

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[3] 杨之．刘连奋．李首现．刘文菊．几何基本图形及其应用．数学教师．1997,6:32．

[4] 李美华．平面几何中基本图形的应用玉澳师专学报（综合版）[J]．1998,14(6)：43．