教学题目

2.4正态分布

学科

数学

年级

高二

学时

1课时

教材版本

人民教育出版社A版

设计日期

2021-6-4

一、教学内容分析

教学内容概述

正态分布在统计中是很常用的分布，他能刻画很多随机现象。对总体密度曲线知识和方法的巩固，深化，同时也为第三章统计案例模型及其应用奠定基础，而且本节课也是培养学生类比、数形结合、分类讨论等数学思想的重要载体，所以本节内容在高中数学学习中占有非常重要的地位。

依据标准

《普通高中数学课程》指出：正态分布在统计中是很常用的分布，他能刻画很多随机现象。对总体密度曲线知识和方法的巩固，深化，同时也为第三章统计案例模型及其应用奠定基础，而且本节课也是培养学生类比、数形结合、分类讨论等数学思想的重要载体，所以本节内容在高中数学学习中占有非常重要的地位。本节课为人教A版高中数学选修2-3《正态分布》，教科书通过正态密度函数的图像及其性质的研究，进一步认识到正态密度函数的概念、图像与其性质，从而使学生的知识体系更加完整和系统。为学生今后进一步学习正态分布提供了必要的基础知识。

教学目标分析

知识和技能：

(1).通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源；

(2).借助flash动画演示，理解正态密度函数，归纳正态曲线的性质。掌握利用原则解决一些与正态分布有关的概率问题。

过程和方法：

(1).培养和发展学生观察、探究、归纳的能力；

(2).体验和领悟数形结合、函数与方程的数学思想。

情感态度和价值观：

(1).通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养学生探究的能力，同时体验发现的乐趣，形成积极的情感；

(2).培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。

知识点学习目标描述

知识点

编  号

学习目

标层次

具  体  知  识  点  描  述

1

了解

正态分布密度曲线的概念

2

识记

正态分布的概念及其意义

3

理解

正态分布密度曲线的特点

4

了解

参数μ和σ对正态曲线的影响

5

应用

正态分布密度曲线的实际应用

教学重点和难点分析

项    目

内    容

解  决  措  施

教学重点

正态分布曲线的特点及其所表示的意义

通过应用计算机模拟演示高尔顿板实验，并引导观察实验结果，教师对实验结果做出解释。

教学难点

了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布密度曲线所表示的意义

将学生分成小组，利用网络平台查找服从正态分布的案例，归纳、概括其特点，教师总结得出结论。

二、学习者特征分析

1. 学习特点：

学生已经掌握了离散型随机变量概率分布的描述方法——运用分布列表示，但对于用总体密度曲线来描述取值连续的随机变量的概率分布的方法不太了解，况且教材直接给出正态总体密度函数的解析式学生不易理解，这是学生学习本节内容的困难之一；此外，大部分学生对数学概念的归纳、抽象、概括的能力普遍是一个弱点，这也是学习本节内容的一个难点。

2. 学习习惯：

学生已具备一定的自主学习的意识，网络搜索、查找资料的能力。主要欠缺的是提取有用信息，独立筛选分析解决问题的能力，同时需要提高小组分工合作意识。

3.学习交往：

整体上各位同学都能按照小组分工，完成自己的任务，小组合作意识强，分工明确，氛围融洽处理问题较好。但也有个别同学，自认为个人能力强，喜欢脱离小组自己解决问题不能在小组内讨论问题的现象。

4.课前对学生的要求：

复习总体密度曲线及定积分的相关内容；查询网络资料，搜寻与高尔顿版实验有关的内容

三、教学环境选择与媒体设计

1．教学环境选择（打√）

（1）WEB教室

√（2）局域网

（3）城域网

（4）校园网

（5）因特网

（6）其他：

2．教学媒体资源设计

知识点

编  号

媒体

类型

媒体内容要点

教学

作用

使用

方式

所 得 结 论

占用

时间

媒体

来源

1

B、F

图片展示学生预习成果；视频演示高尔顿版实验

A、B

C

正态密度曲线，正态函数

10分钟

D

2

A、B

图片展示模型，文字给出定义

C

A

正态分布的概念

8分钟

A

3

A、B

图片展示正态密度曲线，文字解说

E

A

正态分布曲线的特点

5分钟

A

4

B、C

图片展示μ和σ对正态曲线的影响，动画演示动态变化过程

E、F

C

参数μ和σ对正态曲线的影响

10分钟

A、D

5

A、B

展示例题、练习，总结

G

H

正态分布的应用

8分钟

A

     各列内容按下面提示填写分类字母即可。

① 知识点编号填写前面“知识点学习目标描述”表格中的知识点序号，如果该知识点没有相关的媒体设计则跳过。

② 媒体类型填写：A.文字；B. 图片；C.动画；D.音频；E. 视频；F.其他自定义。

③ 媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其他自定义。

④ 媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括；D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解；H. 边播放、边议论；I.学习者自己操作媒体进行学习；J.其他自定义。

⑤ 媒体来源填写：A.课件；B. 软件工具；C. 专题学习网站；D. 多媒体资源库；E. 案例库；F. 题库；G. 网络课程；H. 其他自定义。

四、课堂教学过程结构设计  

教学

环节

教师的活动

学生的活动

教学媒体(资源)

的作用和运用

设计意图、依据

导入

新课

实例引入：

展示学生上传的预习作业

激情激趣，引发逻辑联想

借助学生已有的生活经验和认知水平入手引出课题，自然生动，既激发了学生的求知欲又使学生感受到数学来源于生活。

提出问题：

但是到底具有这种特征的曲线是否可用某种函数图像表示或近似表示呢？

提出问题，促进思考

学习

新知

展示德国10马克纸币图片上的高斯头像和正态曲线引入主题，讲述正态曲线的发明过程，同时进行高尔顿试验。

这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

问题1：在投放小球之前，你能猜出这个小球落在哪个球槽中吗？

问题2：重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加 ，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？

问题3：为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？

问题4：.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？

定义：正态曲线：

曲线中任意的一个均对应着唯一的一个值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像：

 ,

其中是圆周率，是自然对数的底，实数和（＞0）为参数。我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

与分别反映的是均值与标准差。

（小组展示2）

小组展示问题探究结果如下：

1.学生：不可预测小球落在哪个球槽中。

小球经过每一层圆形木块时，都要和其中一个小木块发生碰撞，结果有两种可能，一种是从左边落下，一种是从右边落下，到底落到哪个球槽内，是很多次与小木块随机碰撞结果的叠加，这是随机实验，

2.学生：某一槽中球的个数就是小球落在这个槽中的频数。     

重复投放n个小球，相当于做了n次重复独立实验，这个频数和槽中的小球堆积高度成正比。因此各个槽中小球的堆积高度，反映了小球落入各个槽内的频数分布规律。

（小组展示3）

小组展示问题探究结果如下：

3.学生：绘制频率分布直方图。  

学生发现频率分布直方图的外形和实验中小球堆积的形状是相同的。

4.学生：随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线。

创设可视化情境，动画过程可反复操作，激发学习动机;采用演播教学，能调动学生的多种感官参与学习，丰富教学内容，有效提高学生的学习积极性。

充分利用多媒体动画演示，使学生经历直观感知、观察发现、归纳总结的思维过程，使学生对正态分布的来源及定义的学习、理解水到渠成

通过问题串层层探究，首先使学生从形的角度直观认识正态曲线，进而再给出正态密度曲线对应的表达式，这样不仅使学生能更直观认识正态曲线来源，感受其应用，有利于定义的理解，而且能更好的培养学生合作探究的能力。

通过教师的点拨，帮助学生构建知识体系，巩固、完善、深化对知识、规律内涵的认识。

正态曲线对应的解析式中含有两个参数和。下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数和对曲线的影响：

1.固定的值，观察对图像的影响

2.固定的值，观察对图像的影响

3.通过以上探究，请同学们归纳总结正态曲线的性质。

（小组展示4）

小组展示问题探究结果如下：

1、 当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移；结合解析式分析知时是偶函数，参数决定了正态曲线的对称轴，时的图像可由时的图像平移得到。

结论：（1）曲线是单峰的，它关于直线对称

（2）曲线在时达到峰值

（小组展示5）

小组展示问题探究结果如下：

2、当一定时，影响了曲线的形状。即：越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖

（小组展示6）

小组展示问题探究结果如下：

3、 正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

（2）曲线是关于单峰的，它关于直线对称

（3）曲线在处达到峰值；

（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中.

研究解析式中两个参数对函数的影响对学生而言较为困难。而利用flash动画演示固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也培养了学生观察归纳的能力。从而更好地突出了重点，突破了难点

设疑环节一：

1.曲线与轴之间的面积是多少，为什么？

2.对于任意一个随机变量，如何

求出落在给定区间内的概率？

定义：正态分布

一般地，如果对于任何实数＜，随机变量满足

，则称的分布为正态分布，常记作。如果随机变量服从正态分布，则记作。

设疑环节二：

如何求正态分布的概率呢？

教师动画演示随机变量落在区间,与内的概率，

可见，在区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

所以，在实际应用中，我们常认为服从于正态分布的随机变量只取

之间的值，简称原则。常利用3原则解决与正态分布有关的概率问题。

（小组展示7）

小组展示问题探究结果如下：

1、根据对称性知，随机变量落在对称轴两侧的概率都是1/2，因此曲线与轴之间的面积是1。

2、频率分布直方图中面积对应频率，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X落在区间的频率；再结合定积分的意义, 落在区间的概率的近似值其实就是在上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数在区间上的定积分。即：

（小组展示9）

小组探究，展示问题探究结果如下：

求定积分，通常需要求出原函数。根据现有知识，无法求原函数，可能需要寻求新的方法求概率。

提出问题、任务，促进思考

该环节通过设疑激趣，有效地调动了学生主动探究新知，积极思考，通过数形结合化难为易。突出了重点，突破了难点。

巩固

练习

例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（小组展示10）

小组探究，展示问题探究结果如下：

例1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 

节约时间，同时可重复展示

例1的设置其目的是为了加深对定义的理解和认识

例2. 把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法不正确的是（  ）

A．曲线仍然是正态曲线

B．曲线和的最高点的纵坐标相等

C．以曲线为正态分布的总体的方差比以曲线为正态分布的总体的方差大2

D．以曲线为正态分布的总体的期望比以曲线为正态分布的总体的期望大2

例2.C

  学生分析各个选项，阐述理由。

例2的设置是深化学生对正态曲线性质的理解和应用

归纳

总结

总结：

体会概念的发现与形成过程，在知识、方法各方面上进行总结

畅所欲言

体会、感悟

梳理内容，建立知识间的联系

全面提升

分层

作业

课后巩固：

1.深化正态密度曲线及正态分布的定义（微课）；

2.课本75页A组1、2；B组1、2

能力提升;   

探究：课本77页B组2、3 

迁移转换:   

上网查阅正态曲线及正态分布的来源及发现的过程，并在微信中与大家分享. 

联系生活，使学生明白知识源于生活又应用于生活.

再现生活情境，为学生自主选择提供方便

布置这样的作业给学生提供一个自主发展的空间，强调学生知识的获得不是简单的重复和迁移，而是学生不断的构建和完善.

教学流程图

板书设计

六、教学反思、总结

1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 

2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：

，  （σ＞0）

由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为 

3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 

4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化。结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。