一次方程组  多种解法求

王解军

（太湖县刘畈初级中学，45464628@）

摘  要：任何知识学习了，会用才是好。比如我们解应用题时会用到方程解，而会解方程对于解题很重要。所谓方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号形成的语言，将相等关系转化为方程，再通过解方程使问题获得解决。

关键词：方程组、消元、常项、变换、叠加、

引  言

方程思想是一种重要的数学思想，很多数学问题都可转化为方程来解决，而在解方程中会用到一些简便方法和技巧。对于一次方程组的解法，都是以消元为基本思想，但却不为固定的程序和模式所束缚，体现了一定的灵活性。中学时我们老师教会学生使用过代入消元法和加减法消元法，在这我们总结一下，并介绍一些解一次方程组的解法。

一、  代入消元法

对于代入法在一次方程组中运用有一般代入法、局部代入法、整体代入法三种。

1．一般代入法

观察系数特点从方程中选一个系数比较简单的方程，用一个未知数的式子表示另一个未知数，解出方程的解。

用代入消元法的一般步骤是：

（1）选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；

（2）将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；

（3）解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；

（4）将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；

（5）把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解. QUOTE QUOTE

分析：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，比如方程②中的x的系数是1。因此，可以先将方程方程②变形，用含y的代数式表示x,再代入方程①求解。

解：由②，得    x=y+1   ③

把③代入①，得2（y+1）+y = 8

                         3y= 6

                ∴       y=2

把y=2代入③，得

                       x=2+1

               ∴      x =3

∴原方程组的解是 QUOTE

2.局部代入法  

观察方程组中发现某个未知数和它的系数相同，可以直接将这项作为一个单项代入到另一个方程中，解出方程的解。

【例2】 解方程组 QUOTE   QUOTE

分析：将④中2x作为一项，1-y直接代入⑤求解出其中一个未知数y.

解：把④代入⑤，得（1-y）+3y = 7

                        2y= 6

                ∴       y=3

把y=3代入④，得

                    2x=1-3 

x=-1

∴原方程组的解是 QUOTE  

3.整体代入法  

（1）将方程组中某个方程所有未知项作为一个整体，代入到另一个方程中，消去其中一个未知数，解出方程的解。

【例3】 解方程组 QUOTE   QUOTE

分析：将方程⑥中4x+7y看作为一个整体，代入⑦中，就可以消去x,解出方程的解。

解：把⑥代入⑦，得4x+7y-12y = 17

                        -19-12y=17

                ∴       y=-3

把y=-3代入⑦，得

                       4x-5×（-3）= 17

                      x= QUOTE

∴原方程组的解是 QUOTE  

（2）当然不是所有的方程中未知数系数相等，这就要将原方程转化含有未知数的代数式作为整体，下面举例说明：

【例4】 解方程组 QUOTE  

分析：方程组中出现了（x-1）与（y-1）的形式，如果将（x-1）与（y-1）这两个整体看成不同的元，则会使计算简便，解出方程的解。

解：原方程可以变形为 QUOTE     QUOTE

把⑧中2（x-1）的右边结果（y-1）+6代入⑨中，得

3（y-1）=（y-1）+6+12

                ∴       y-1=9

∴       y=10

把y-1=9代入⑧，得 2（x-1）=9+6

                      x= QUOTE

∴原方程组的解是 QUOTE

二、  加减消元法

 解二元一次方程组时，两个方程中如果某一个未知数的系数的绝对值相等，那么只要将两个方程的两边分别相加或者相减，就可以消去一个未知数，变成一元一次方程来解。

用加减消元法的一般步骤是：

（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就运用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或者相等；

（2）把两个方程的两边分别相加或者相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程组；

（3）解这个一元一次方程；

（4）将已求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解；

（5）把求得的两个未知数的解用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解.

【例5】 解方程组 QUOTE   QUOTE

分析：两方程组中的y的系数都是1，即两方程中的y的系数相等，满足用加减消元法的减法消元。                       

解：由②-①，得 (2x+y)-(x+y)=60-45

  ∴ x=15   

把x=15代入①，得    

                   y=30

∴原方程组的解是 QUOTE

【例6】 解方程组 QUOTE   QUOTE

分析：将两方程相加和相减都能得到x与y的系数都是1，再一次用加减消元法加法或者减法消元解出方程组。                       

解：由③+④，得 5x+5y=15

  ∴ x+y=3    ⑤

由③-④，得 x-y= 5         ⑥

∴  ⑤+ ⑥得    2x =8

              ∴ x =4   

把x=4代入⑤，得   

               ∴  y=-1

∴原方程组的解是 QUOTE

三、常项消去法

 有一类方程组，它们的常数项互为相反数，两方程相加，可消去常数项，得到x与y的直接关系，从而使代入式子简单易算。

【例7】 解方程组 QUOTE   QUOTE

分析：此方程组中的常数项-4和4互为相反数，两方程相加，可消去常数项，得到x与y的直接关系，再代入原方程就可以，解出方程的解。                       

解：由①+②，得    6x-2y=0   

y=3x      ③

把③代入①，得    x+3x-4=0

                ∴   x=1

把x=1代入③，得

                       y=3×1

               ∴      y =3

∴原方程组的解是 QUOTE

四、变换系数法

 此类方程组的特点是：两方程中含有一个未知数的项其系数的绝对值相差1，因此，相加或者相减后，可以得到系数为1的新方程，那么在计算就简便多了。

【例8】 解方程组 QUOTE   QUOTE

分析：两方程中含有一个未知数的项其系数的绝对值相差1，因此相减后，可以得到系数为1的新方程，然后解出方程的解。                       

解：由②-①，得    u-v=2   

∴   u=2+v      ③

把③代入①，得    2(2+v)-3v=8

                ∴  v=-4

把v=-4代入③，得

                u=2+(-4)

             ∴  u=-2 

∴原方程组的解是 QUOTE

五、叠加消元法

此类方程组的特点是每个方程都涉及三个未知数，而且将它们的位置调换后，方程组的结构形式不变，即轮换式方程。把几个方程合在一起组合成全新的方程，对比全新的方程和原方程组，发现新的知识，解出所求的未知数。

【例9】 解方程组 QUOTE    QUOTE

分析：如果能够找到与三个方程都有联系的新方程，那么就可以使矛盾得到转变，然后解出方程的解。                       

解：由①+②+③，得    x+y+z=11    ④

把④-①，得    2z=8

                ∴  z=4

把④-②，得

                2x=4

             ∴  x=2

把④-③，得    2y=10

                ∴  y=5

∴原方程组的解是 QUOTE

以上一次方程组的解法应用到此，当然生活中还有很多方法来解一次方程组。比如“换元法”、“设参数法”、“图像法”、“解向量法”，这些方法在我们今后的学习和运用中出现，待从生活中总结得出。

参考文献

[1]吴之季、苏淳《数学》，上海科技出版社2012年版，第98~104页。

[2]吕学礼《代数》第一册下册，人民教育出版社2001年版，第29~30页。

[3]姚林：《初中数学教与学》， 2017年第7期。

[4]张恩：《千万个为什么》，长春出版社1994年版，第204~205页。

[5]李菁华《数学《教材解读》》七年级上册，现代教育出版社2015年版，第88~90页。