巧思妙解一次方程组
王解军
（安庆市太湖县刘畈初级中学，45464628@）
摘 要：在中学阶段，我们常见一些题目涉及一次方程组，如何快速解出方程组，有效利用时间很重要。方程思想是一种重要的数学思想，很多数学问题都可转化为方程来解决，而在解方程中会用到一些简便方法和技巧。我们在课本中主要学习了代入消元法和加减消元法,当然还有很多方法值得我们学习，比如局部与整体代入法、常项消去法、变换系数法、叠加消元法等等。
关键词：方程组、消元、常项、变换、叠加
引 言:知识来源于生活，应用于生活。任何知识学习了，会运用才是好。对于一次方程组的解法，都是以消元为基本思想，但却不为固定的程序和模式所束缚，体现了一定的灵活性。所谓方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号形成的语言，将相等关系转化为方程，再通过解方程使问题获得解决。学习中我们教师教会学生使用过代入消元法和加减法消元法，在这我们总结一下，并介绍一些新的一次方程组的解法。
一、一般代入法
此方法在我们上海科学技术出版社《数学》七年级上册已经学习过，主要是观察系数特点从方程中选一个系数比较简单的方程，用一个未知数的式子表示另一个未知数，解出方程的解，在此举例牛刀小试一下。
【例1】解方程组 QUOTE
分析：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，比如方程②中的x的系数是1。因此，可以先将方程方程②变形，用含y的代数式表示x,再代入方程①求解。
解：由②，得 x=y+1 ， ③
把③代入①，得2（y+1）+y = 8 ，
3y= 6 ，
∴ y=2.
把y=2代入③，得
x=2+1 ，
∴ x =3 .
∴原方程组的解是 QUOTE 
二、局部代入法
局部代入法则是在一部代入消元法的基础上，将某个未知数连同它的系数都作为一个“整体”。观察方程组中发现某个未知数有着相同的系数同时出现在两个方程中，可以直接将这项作为一个单项式整体代入到另一个方程中，解出方程的解。
【例2】 解方程组 QUOTE
分析：将①中2x作为一项，1-y直接代入②求解出其中一个未知数y.
解：把①代入②，得（1-y）+3y = 7 ，
2y= 6 ，
∴ y=3 ，
把y=3代入①，得
2x=1-3 ，
x=-1 .
∴原方程组的解是 QUOTE
三、整体代入法
1．整体代入法是在局部代入法基础上，将方程组中某一个方程所有项作为一个“整体”把这个“整体”代入到另一个方程中（另一个方程拆分出与此方程相同的整体），消去一部分，得出一个未知数的一元一次方程，解出方程的解。
【例3】 解方程组 QUOTE
分析：将方程①中“4x+7y”看作为一个整体，代入②中，就可以消去x,解出方程的解。
解：把①代入②，得4x+7y-12y = 17 ，
-19-12y=17 ，
∴ y=-3 .
把y=-3代入②，得
4x-5×（-3）= 17 ，
x= QUOTE .
∴原方程组的解是 QUOTE
归纳:此方法合理的找出一部分相同项，解出方程组，当然我们还可以将方程②中“4x-5y”也看作为一个整体，代入①式中，同样也可以消去x,解出方程组的解。
2.整体代入法如何运用，要随机应变。如果方程组中未知数系数不相等相等，这个时候要灵活选取方程中的一部分作为一个整体。这就要将原方程转化含有未知数的代数式，下面举例说明。
【例4】 解方程组 QUOTE
分析：方程组中出现了（x-1）与（y-1）的形式，如果将（x-1）与（y-1）这两个整体看成不同的元，则会使计算简便，解出方程的解。
解：原方程可以变形为 QUOTE
把①中2（x-1）的右边结果（y-1）+6代入②中，得
3（y-1）=（y-1）+6+12 ，
∴ y-1=9 ，
∴ y=10 .
把y-1=9代入①，得 2（x-1）=9+6 ，
x= QUOTE .
∴原方程组的解是 QUOTE
四、加减消元法
1.解二元一次方程组时，两个方程中如果某一个未知数的系数的绝对值相等，那么只要将两个方程的两边分别相加或者相减，就可以消去其中一个未知数，变成一元一次方程来解。此方法在我们上海科学技术出版社《数学》七年级上册也已经学习过，在此举例回忆一下。
【例5】 解方程组 QUOTE QUOTE
分析：两方程组中的y的系数都是1，即两方程中的y的系数相等，满足用加减消元法的减法消元。
解：由②-①，得 (2x+y)-(x+y)=60-45，
∴ x=15 .
把x=15代入①，得
y=30.
∴原方程组的解是 QUOTE
2.如果两个方程中出现某一个未知数的系数和另一个未知数的系数，看上去刚好是交换的一样，这个时候我们就可以用重复使用加减消元法，那么只要将两个方程的两边分别相加或者相减，就可以化成两个未知数的和与差形式，再次将和差相加或者相减，消去其中一个未知数，变成一元一次方程来解。
【例6】 解方程组 QUOTE
分析：将两方程相加和相减都能得到x与y的系数都是1，再一次用加减消元法加法或者减法消元解出方程组。
解：由①+②，得 5x+5y=15，
∴ x+y=3， ③
由①-②，得 x-y= 5 ， ④
∴ ③+ ④得 2x =8，
∴ x =4.
把x=4代入⑤，得
∴ y=-1.
∴原方程组的解是 QUOTE
五、常项消去法
有一类方程组，它们的常数项相等或者互为相反数，可以把常数项作为特殊项，先可消去常数项，得到x与y的倍数关系，从而使之代入式子简单易算。
【例7】 解方程组 QUOTE QUOTE
分析：此方程组中的常数项-4和4互为相反数，两方程相加，可消去常数项，得到x与y的直接关系，再代入原方程就可以，解出方程的解。
解：由①+②，得 6x-2y=0，
y=3x. ③
把③代入①，得 x+3x-4=0，
∴ x=1.
把x=1代入③，得
y=3×1，
∴ y =3.
∴原方程组的解是 QUOTE
六、变换系数法
此类方程组的特点是：两方程中含有一个未知数的项其系数的绝对值相差1，因此，相加或者相减后，可以得到系数为1的新方程，那么在计算就简便多了。
【例8】 解方程组 QUOTE QUOTE
分析：两方程中含有一个未知数的项其系数的绝对值相差1，因此相减后，可以得到系数为1的新方程，然后解出方程的解。
解：由②-①，得 u-v=2 ，
∴ u=2+v. ③
把③代入①，得 2(2+v)-3v=8，
∴ v=-4.
把v=-4代入③，得
u=2+(-4)，
∴ u=-2 .
∴原方程组的解是 QUOTE
七、叠加消元法
此类方程组的特点是每个方程都涉及三个未知数，而且将它们的位置调换后，方程组的结构形式不变，即轮换式方程。把几个方程合在一起组合成全新的方程，对比全新的方程和原方程组，发现新的知识，解出所求的未知数。
【例9】 解方程组 QUOTE QUOTE
分析：如果能够找到与三个方程都有联系的新方程，那么就可以使矛盾得到转变，然后解出方程的解。
解：由①+②+③，得 x+y+z=11， ④
把④-①，得 2z=8，
∴ z=4.
把④-②，得
2x=4，
∴ x=2.
把④-③，得 2y=10，
∴ y=5.
∴原方程组的解是 QUOTE
解方程组的方法还有很多，我们不能一一呈现，以上这些一次方程组的解法应用到此。像 换元法、设参数法、图像法、解向量法，这些方法在我们今后的学习中将呈现，都能巧妙地解出方程，可以再从学习中总结得出。
参考文献
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[3]姚林：《初中数学教与学》， 2017年第7期。
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[5]李菁华《数学《教材解读》》七年级上册，现代教育出版社2015年版，第88~90页。
