梯子下滑——转班超
内容提要：
数和形好比两大王国，它们既相互独立，又相互联系。“形”的主要作用是直观，“数”表现的更准确，它们是事物本质的两个表现形式。数形结合是一种重要的思想方法，是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，能使得数学在实践中的应用更加广泛和深入，领悟这点是初中数学教学中的重要方面，是实现新课改的重要手段。本文就课本例题“梯子下滑”对数形结合产生了几点思考。
关键词： 梯子下滑 数形结合 能力 思考
正文：
一、问题
本人这学期执教八年级数学，使用的是人教版新教材，刚学完《勾股定理》。书本第25页的例题是这样的：如图17.1-8，一架长2.6m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
师：大家注意观察，由题意可得线段AC等于0.5米，则BD的长度是多少呢？请同学们思考五分钟。
（5分钟后继续提问）
部分学生：0.5米。
部分学生：不一定
（小部分学生沉默）
师：回答是0.5米的同学，你的依据是什么呢？谁来说一下？
（学生举手）
师：学生A，你来说一说。
生A：我认为梯子下端移动的距离与上端下滑的距离相等。
师：哦，原来是这样，都同意这个结论吗？
部分学生：不同意。
师：为什么呢？小组探究。
（学生举手）
师：请大家坐好，哪个小组先来说说你们讨论的结果？
生B：我们小组的想法是假设AC和BD都是0.5米，OC的长度为(2.6-0.5)米， 所以根据勾股定理的逆定理，这就不是一个直角三角形，而我们知道墙与地面始终是互相垂直的，这个三角形一定是直角三角形。所以我们小组认为这两条线段不一定相等。
生C: 我们小组的做法是，本题有两个直角三角形，由题意可知AB=2.6，AO=2.4，先利用勾股定理求出OB，梯子移动过程中长短不变，所以CD=AB，又由题意可知CO=2.6-0.5，利用勾股定理求OD长，把其相减得解。
师：非常好，那正确的做法应该是什么呢？请学生板演。
（生D上黑板板演）
师：这个小组给大家提供了一种正确的做法,思维很严谨，条理清晰，实在是太棒了，大家一起给他们一些掌声吧!
二、问题的联想
本例题主要讲述了勾股定理的实际应用，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，解决了生活中的梯子下滑问题。勾股定理是数形结合的纽带，将代数计算和图形紧密的联系在一起，若能在教学中重视和渗入数形结合的思想，将使得学生思路开阔，解题方法简便快捷。
三、探讨
华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”。数形结合作为数学中的一种重要思想，在初中数学中占有极其重要的地位，关于这一点，在近几年中考试卷中表现得尤为突出，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”。比较常见的是航海问题、折叠问题、不等式组问题、测量问题。巧妙运用数形结合思想解题，可以把问题简单化、形象化，效果事半功倍。初中数学新课改的核心理念是学生的发展，培养学生创新意识和能力。数形结合思想是学生能力的重要方面，在教学中如何培养学生运用数形结合的能力呢？
（一）、教师要认真备课，研究教材，重视数形结合思想
如今使用的教材不断地在完善，并不是一成不变的，这就需要我们不断地学习和钻研，不能停留在过去的认识里。现有的教材重视了知识、能力、数学活动经验、数学教学思想的培养，而数学思想的核心是数学本质，要揭示数学本质，主要来自于教材中各知识点之间的联系。只有了解了内在联系，才能体会数学思想。教师研究教材要有深度，认真备课，根据教学内容创建图形，既能激发学生的学习兴趣，又能让学生感受到数形结合的优势。备课时，教师要注意在教学过程、教学方法、例题分析中，渗透数形结合的思想，充分利用图形让学生通过“形”找出解决问题的“数”。平时的教学，要引导学生自觉地利用课本中的图形或其他图形，获取重要信息、整理信息、提出问题、分析问题、解决问题，增强学生对数形结合思维模式的认知和了解，体会图和数结合的意义，加强数形结合思想的深刻认识。
（二）、锻炼学生的识图能力，加强训练，进而渗入数形结合思想
数形结合思想是将数和形密切地联系在一起，相辅相成，达到解决问题和掌握新知的目的。它能够激发学生的空间意识、逻辑推理意识。图形的认识是初中教材中的一个重点，在图形中获取信息，将信息和数结合起来解决问题更是一个难点。因此，对图形的认识便是渗入数学结合思想的前提。在教学中，教师要经常让学生尽可能多地指出图像特点，获取相关的信息便于更好地将数和形结合起来。如一元一次不等式组解法口诀的教学，教师只有让学生认真地画图，仔细看图，观察数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖的部分，才能理解通常是利用数轴来确定几个一元一次不等式的解集的公共部分，总结一元一次不等式组解法口诀，如下表：
再比方“数据分析”的教学内容里，经常有根据图形信息解方程的应用题，这样的题目就更要求学生在平时的学习中有很好的看图和识图能力。
（三）、注意教学的细节，培养学生运用数形结合思想的能力
教学的细节可以影响到每位学生。要让学生时刻能感受到数形结合的存在，只有在细节上下手。首先，在初中阶段时，就要有目的的强化一些细节让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”。《有理数》这一章中，除了要介绍负数的存在、绝对值的计算、相反数的意义以及运算法则外，还要强化用数轴来处理这些问题，让学生感受到它的简便和形象。《一元一次方程》内容中，在讲解一元一次方程解决生活问题时，增加一些结合图形的应用题，比如行程问题，引导学生画线段图。这样有助于学生更好的理解利用图形可以解决相关的应用题。《几何图形初步》等相关图形章节中，主要是带领学生走进丰富的图形世界，认识更多的图形。在适当的情况下，向学生多介绍线段等分点，角度、线段长短的运算，让学生体会到将图形的问题转化纯粹的代数运算的妙处。《平面直角坐标系》《勾股定理》等章节是数形结合的桥梁，坐标的问题往往有“数”和“形”两种解法，讲解例题时尽量讲两种解法。同时要充分利用内容的特点，灵活使用数形结合的方法，培养数形结合的能力。如：特殊图形顶点的坐标表示，面积计算等等。《数据分析》等统计知识章节中，带领学生挖掘图形中的信息，进行数据分析和相关计算。总的来说，就是在学习偏“数”的内容时别让学生忘记“形”，在学习偏“形”的内容时别让学生忘记“数”。为了培养学生运用数形结合思想的能力，在教学上做到细致、慎重。其次，结合数形之间关系布置相应的作业，开展分组讨论等形式培养学生运用数形结合的能力。在初中阶段，有一类题目既可以用数学计算，也可以用几何图形来解答。对于这类题目，教师要带领学生尝试从不同的角度来解答，鼓励学生一题多解，让学生来感受哪种方法好，哪种方法不好。它能够拓宽学生的知识面，丰富他们对图形和数的认识，培养运用数形结合的能力。例如在黑板板书下面一个例题：
例：求方程的解
数：
解：x2-2x-3=0
∵△=16
∴x1=-1,x2=3 形：
解：根据列表、描点、连线画出函数 图象，
画出函数的图象，从图象可知两函数的交点
坐标分别是（－1，1）和（3，9）。
所以方程的解为－1，3。
（四）、注重习惯，培养学生运用数形结合的能力
我们在整个初中阶段的教学，时刻都要有培养学生用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”的意识。只有经过长期的训练，才能让学生有着数形结合的习惯，提高学生的数学思维能力和推理能力，达到灵活运用数形结合的能力。
总之，新课改要求揭示问题的本质。用“数”准确澄清“形”的模糊，用“形”直观启迪“数”的运算，数形结合思想不像数学知识、解题方法那种具有某种形式，它只是体现为一种意识或观念。因此，只有日积月累、长期渗透才能让学生灵活运用。教师要根据教学的实际情况，做到培养数形结合思想能力的有心人，锲而不舍，给学生提供足够的空间和时间，让学生在认识层次上得到的提高，逐步实现灵活运用数学结合的能力。
参考文献：
《初中生学习法与能力培养》 任 勇
《数学思想方法教学研究导论》 朱成杰
《数式与图形》载于《数学教学》 徐元德 梁 彬
