所谓数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。 中学数学教科书中处处渗透着基本数学思想。与数学基础知识一样,数学思想也是数学学习的重要内容之一。在教学过程中应重视与加强数学思想的教学,如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上,它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方论法的功能。这对于培养能力以及提高学生的数学素养都具有十分重要的作用。结合几年的初中数学教学实践,我认为初中数学常用的数学思想主要有以下几种:
一、数形结合思想
数学学科具有很强的抽象性,特别是代数部分。用学生的话说,感觉是一种“抓不着、看不见”的东西,需要一定的抽象思维。而相对于抽象思维,学生则更习惯于形象思维。因为形象思维有“东西”可看、可想。数形结合即把抽象的“数”与直观的“形”巧妙地结合起来,使抽象的问题更加形象化。数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具,同时也使许多代数问题具有了显明的几何直观性。数形结合思想是初中数学中十分重要的思想,在数学问题的解决过程中具有数学独特的策略指导与调节作用。
例如,数轴上的点与全体实数、平面上的点与有序实数对之间的一一对应的关系;函数解析式与函数图像之间的关系;线段之间或角之间的和、差、倍、分关系等问题,都是充分利用数来反映形。解直角三角形,求角度和边长时引入了三角函数,这是用代数方法解决几何问题;“圆”这一章中,圆的定义、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的;统计初步中统计的一种方法是绘制统计图表,用这些图表来反映数据情况、发展趋势等,实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际生活中的直接应用。
二、方程思想
方程即含有未知数的等式。只要问题中有要求解的未知量和隐含的等量关系,均可用方程或方程组来解决。方程思想是处理常量数学的重要思想,在解决一般数学问题中具有重大的意义。方程思想贯穿了中学数学课程学习的始终。在初中数学中,方程是一项极为重要的内容,教材对各类方程都作了较为系统的学习研究。对一个较为复杂的问题,常常只须设出未知量、找出等量关系,列出一个或几个方程或方程组,就能很好地得到解决。
三、整体思想
整体思想即在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法。简单地说就是从整体去观察、认识 问 题、从 而 解 决 问 题 的 思 想。从整体上认识问题、思考问题,常常能化繁为简、化难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性。整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等。运用整体思想,可以理清数学学习中的思维障碍,可以使繁难的问题得到巧妙的解决。它是数学解题中一个极其重要而有效的策略,是提高解题速度的有效途径。整体思想在因式分解、代数式求值、用换元法解方程、一元二次方程根与系数关系等方面有着广泛的运用。
例如,已知(X2+Y2)2+3(X2+Y2)-4=0,求X2+Y2的值。可以把X2+Y2当成一个整体来看待。
四、分类讨论思想
分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想,又是一个重要的数学方法,很多数学问题涉及知识范围广,约束条件多,很难用统一的方法解决或者一个可能存在多种情况。因此就从“分割”入手,将整体化为若干局部,每个局部问题相对确定,解法单一,比较容易解决,每个局部问题解决了,整体问题也就得到解决。即采用化整为零、各个击破的方针。对于复杂的计算题、证明题等,运用分解组合的思想方法去处理,可以帮助学生进行全面严谨的思考和分析,从而获得合理有效的解题途径。
例如,已知:方程X2-7X+10=0的两根是等腰三角形ABC的两边长,求三角形ABC的周长。
解决这个问题首先要解方程,求得方程的两根为:2和5。
分类讨论:①若2为底,则5为腰,三边长分别为2,5,5,可以构成三角形,此时周长为12;
②若5为底,则2为腰,三边长分别为5,2,2,不能构成三角形。综上所述,三角形ABC的周长为12。
五、转化与化归思想
转化与化归即在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。转化与化归思想在中考中占有十分重要的地位。数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的转化,实际问题向数学问题的转化等。为了实现“化归”,数学中常常借助于“代换”,又称之为转换。代数中有恒等变换,方程、不等式的同解变换;几何中全等变换、相似变换、等积变换、等量代换。转换是手段,揭示其中不变的东西才是目的,为了不变的目的去探索转换的手段就构成解题的思路和技巧。 [来K]
例如,已知:在平面直角坐标系中,一次函数y=7x与y=-3x+2的图象交于A、B两点。求 A、B两点的坐标。
既然两个函数的图象相交,说明交点处的横坐标和纵坐标,既适合于第一个函数,
又适合于第二个函数,所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题,从而求出交点坐标。
以上几种数学思想是初中数学常用的。当然,初中数学所涉及到的数学思想远不止这五种。在今后的教学实践中,本人将更加重视与加强对学生进行数学思想的教学,提高学生的解题能力,培养学生的数学素养。