集合常常会与函数、不等式、概率等问题进行交汇命题，能够有效考查学生的综合解题能力，下面提供一些交汇题供大家赏析.

一、集合与简易逻辑的交汇

集合与简易逻辑的交汇点常常是集合与充要条件交汇问题，主要考查学生的转化和化归能力，逻辑推理能力和运算求解能力.

【例1】已知集合，，则是的（   ）

A.充分而不必要条件                   B.必要而不充分条件     

B.C.充分必要条件                     D. 既不充分也不必要条件    

【解析】当时，显然是B的子集，当时，或，故是的充分不必要条件.

【评注】本题将集合与充要条件的判断有机的结合，属于小点小考的命题方法.在解题既要判断充分性是否成立，也要考查必要性是否成立.

二、集合与计数原理的交汇

    集合与计算原理的交汇点主要是利用分步计数原理或分类计数原理，来求某些集合中元素的个数.

    【例2】对正整数n，记I_n＝{1,2，…，n}，.求集合中元素的个数.

【解析】由于集合中的元素满足的条件是，所以由分步计数原理可得共有种情况，但是由元素的互异性可知，当时，中有3个数与I₇中的3个数重复，即，故中元素的个数为.

【评注】本题既考查了对集合概念的理解，也考查了计数原理的应用.理解集合元素的性质是解题的关键，但是在利用计数原理求解元素个数的同时，也不能忽视了元素的互异性而误解为49.

三、集合与概率的交汇

将集合问题与概率巧妙地融合在一起，既可以考查集合知识，又可以考查概率问题，体现了集合的“知识交汇点”的特点.

【例3】已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为                       ( )

A.3(1)              B.3(2)              C.9(1)               D.9(2)

【解析】作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出Ω所表示的平面区域为三角形AOB及其边界，A表示的区域为三角形OCD及其边界．容易求得D(4,2)恰为直线x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三线的交点．则可得S_△AOB＝2(1)×6×6＝18，S_△OCD＝2(1)×4×2＝4.所以点P落在区域A的概率为18(4) ＝9(2).答案：D

【评注】这是一个用集合语言叙述的概率问题，关键是把集合语言翻译成图形语言，即画出两个集合表示的平面区域，再利用几何概型的公式求解.考题中经常以集合为载体设计一些创新性问题，应注意这方面问题的训练.

四、集合与不等式的交汇

集合与解不等式的复合题型，常见的有绝对值不等式，一元二次不等式，含有对数及指数的不等式等等，对这类问题，首先要正确处理好不等式的问题，再合理应用集合的知识来完成.

   【例4】设整数,集合.令集合

，若和都在中,则下列选项正确的是(    )

A . ,             B．,       

C．,          D．, 

    【解析】解法一(直接法)因为，，所以…①，…②，

…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中

恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，

；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：

②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，

于是，.综合上述四种情况，可得，.

    解法二(特殊值法)由于集合中的元素要满足的条件是：且三条件

恰有一个成立，不妨令,,则

,,故选B．

【评注】本题将不等式与集合知识点巧妙融合在一起，设计新颖，既可以利用分类讨论的思想进行归类分析，也可以合理应用特殊值法快速解题.

五、集合与函数的交汇

集合与函数的交汇点有用集合表示函数的定义域或值域，或者研究具有某些性质特征的函数.

【例5】集合是由适合以下性质的函数组成的，对于任意的且在(0,+∞)上是增函数.

    （1）试判断函数及是否在集合中，若不在集合A中，试说明理由；

    （2）对于（1）中你认为是集合A中的函数，证明不等式对于任意总成立.

   【解析】（1）函数不在集合中，这是因为当时，，不满足条件；所以不在集合A中.又由得，所以的值域，且当时为增函数，故在集合A中.                                        

（2）由（1）知，

所以

故对任意，不等式总成立.           

【评注】本题表面上看是集合问题，但实质上考查的函数的基本性质，集合在这里只是起到一个载体的作用，这个函数必须满足两个属性，从而来判断和是否为集合的元素.肯定的必须进行严格证明，否定的只需举出反例即可.

    六、集合与数列的交汇

    集合与数列交汇点主要是有关数列的通项或前项求和问题，通常要抓住集合中元素的特征进行求解.

     【例6】已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为.又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为    ．

【解析】由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，

    每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以

当时，，时，，此时均不成立，

当时，，

    由于，而且，所以，故最小正整数为45.

【评注】本题首先对时中的元素按从小到大顺序排列，然后对最小元素出现的次数进行研究，这是本题解题的关键.同时要注意不能忽视对和情况的讨论.

七、集合与解析几何的交汇

曲线是由满足某种条件的点组成的集合，由集合的运算得出曲线之间具有的某种特殊位置关系，进而转化为解析几何知识求解．

【例7】在平面直角坐标系中，点集，则点集所表示的区域的面积是     .

【解析】由题意可得，点满足，因为，即，表示以点为圆心，1为半径的圆内部（含圆），由集合可知，点所在区域为（含边界），则点表示的图形如图所示，面积为.     

【评注】本题首先需要将集合语言转化为几何语言，进而得到点所在的区域，再利用数形结合思想得到点所在区域，求出面积.本题综合性较强，难度较大.

八、集合与实际问题的交汇

在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.集合的实际应用问题主要强化学生的这种能力.解答应用题需要考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.应用题的难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系，往往可以简化解题过程.

    【例8】求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

    【解析】如图先画出Venn图，不难看出不符合条件的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)＋(200÷30)＝146.所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）

【评注】分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法.

  通过上述例题可以看出，在考查集合性质及其运算的同时，往往会与其他知识进行融合和渗透，命制出一些新颖别致，不落俗套的新题型.所以在今后的学习中，要把握好知识间的纵横联系，注重知识的交汇与整合，形成有序的网络化的知识体系.