充分必要条件是常用逻辑用语的重要内容,也是高考考查的重要知识点之一,这部分内容需引起同学们足够的重视.判断充分条件与必要条件得常用策略有:定义法、集合法、等价转化法以及传递关系法.下面举例说明:
一、利用定义法进行判断
定义法是充分条件与必要条件的最基本方法.如果命题:“若则”为真,即,则是的充分条件;如果命题:“若则”为真,即,则是的必要条件.
【例1】设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若(a-b)·a2<0,则a≠0,可得a<b,所以充分性成立;若a<b,则a-b<0,但是当a=0时,(a-b)a2=0,所以必要性不成立.故“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.所以选A.
【评注】充分条件和必要条件反映了条件和结论之间的关系,结合具体问题可按照以下三个步骤进行判断:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件退结论,结论推条件;(3)确定条件和结论的关系.
二、利用集合法进行判断
充要必要条件可以从集合的包含关系来理解,设命题的对象组成的集合为,满足命题的对象组成的集合为.(1)如果,则是的充分条件.其中当时,是的充分不必要条件.(2)如果,则是的必要条件.其中当时,是的必要不充分条件.(3)如果,且,即,则是的充分必要条件.(4)如果以上关系都不成立,则是的既不充分也不必要条件.
【例2】命题p:(x-m)2>3(x-m)是命题q:x2+3x-4<0成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,-7)∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.(-7,1) D.(-∞,-7]∪[1,+∞)
【解析】解不等式(x-m)2>3(x-m),得x>m+3或x<m,解不等式x2+3x-4<0,得-4<x<1.因为命题p是命题q成立的必要不充分条件,所以命题q中不等式的解集是命题p中不等式的解集的真子集,即m+3≤-4或m≥1,解得m≤-7或m≥1.所以答案为D.
【评注】(1)用集合法来判断命题之间的关系往往十分简明, 其要点可以概括为“小范围可以推出大范围, 大范围不可以推出小范围.”(2)在解题时也可以借助于数轴法,韦恩图等,使问题直观化,易于解决.
三、等价转化法进行判断
对于条件和结论含否定的充分必要条件判断问题, 若直接判断有困难时, 一般利用等价转化的方法, 将“ 是的什么条件”转化为“ 是的什么条件”去处理.
【例3】已知命题;命题,且是的一个充分不必要条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】由,得或,又“是的一个充分不必要条件”等价于“是的一个充分不必要条件”,由“小范围可以推出大范围”, 得.
【评注】对于那些带有否定性语言的命题,可利用“互为逆否命题的两命题同真假”这一等价关系,先将它转化为肯定型的等价命题,再进行判断.常见的如:是的必要不充分条件⇔是的充分不必要条件⇔是的充分不必要条件;是的充要条件⇔是的充要条件等.
四、借助传递关系进行判断
充分必要条件具有传递性,对于角复杂的关系,常可利用符号,进行传递,根据这些符号所组成的图示可以得出结论.
【例4】已知是的充分不必要条件,是的充分条件,是的必要条件,是的必要条件,现有下列命题:
①是的必要条件;②是的充分不必要条件;③是的必要不充分条件;④是的必要不充分条件;⑤是充分不必要条件.
【解析】由已知可得到的关系图如下:
由上图可知,,所以命题①为真命题;由,但是可知命题②为真命题;由可知命题③为假命题;由,可知是的必要不充分条件,根据原命题和逆否命题等价,是的必要不充分条件,即命题④是真命题;由,知命题⑤是假命题.故选B.
【评注】对于两个以上的较复杂的连锁式命题,可利用传递性符号,画出它们之间的关系图进行判断,直观明了.
霍邱县第一中学 :(2018-10-25 08:32)
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