函数解析式的常用求法
作者:余其权 发表时间:2018年10月19日 浏览量:28 分享到空间
把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式. 求解析式是中学数学的重要内容,是常见的考点之一.本文给出求解析式的几种常见方法,供大家参考.
一、配凑法
已知复合函数的表达式,求的解析式,的表达式容易配成的运算形式时,常用配凑法.
【例1】 已知 ,求 的解析式.
【解析】 因为,,所以 .
【评注】 使用配凑法时要注意,所求函数的定义域不是原复合函数的定义域,而是的值域.
二、换元法
已知复合函数的表达式,求的解析式,的表达式不易配成的运算形式时,常用换元法.
【例2】已知= ,求的解析式.
【解析】 设,则,
故
所以.
【评注】实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.
三、 待定系数法
若已知函数的类型,设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得的表达式.
【例3】已知二次函数,其图象的顶点是,且经过原点,求.
【解析】 由题意设 ,
又因为图象经过原点,所以,即 得,故.
【评注】待定系数法是一种重要的数学方法,它适用于已知所求函数的类型求其解析式.
四、方程组法
若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式.
【例4】 设为偶函数,为奇函数,又试求的解析式.
【解析】 因为为偶函数,为奇函数.所以
又 ① ,
用替换得: 即②
解① ②联立的方程组,得
,
【评注】 此方法主要适用于自变量的对称规律.如:互为倒数的与,互为相反数的与,通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得的解析式.
五、函数性质法
主要利用函数的性质如奇偶性、周期性等求函数解析式的方法.
【例5】已知是定义域上R上的函数, 对任意满足
⑴ 当时,,求时,函数的解析式.
⑵ 对时,用表示区间,已知当时,,求在上
的解析式.
【解析】(1)由题设知的周期是,设,则
所以
(2)
【评注】解决本题的关键是将待求的区间转化到已知区间,进而利用已知区间的函数解析式求解.
六、赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律的方法.
【例6】 已知求.
【解析】 令则
再令则得
【评注】 依据结构特点,将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,从而找出一般规律,求出解析式.
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