值域是构成函数的三要素之一，是高考考查的重要内容之一，它涉及的内容多，综合性强，是一个较复杂的问题.本文将举例说明求函数值域的常用方法，供大家参考.

    一、观察法

    【例1】求函数的值域.

【解析】因为，则，所以函数的值域为.

    【评注】一些简单函数，从自变量的范围出发，推出的取值范围.或由函数的定义域结合图象，或直观观察，就能判断函数的值域.

    二、配方法

【例2】求函数（）的值域.

【解析】，

因为，∴，∴

所以，∴

故函数（）的值域为.

【评注】当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可使用配方法求函数值域.

    三、换元法 

    【例3】求函数的值域.

    【解析】令 ，则原函数化为，对称轴是，函数开口向上，当，即时，函数取最小值，故函数值域为.

   【评注】形如(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如的函数用三角函数代换求值域．

 四、分离常数法

    【例4】求函数的值域.

【解析】，

因为，∴，

所以函数的值域为.

    【评注】已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域.

五、单调性法

【例5】求函数的值域.

【解析】设，

已知它们在定义域内为增函数，从而函数在定义域上也是增函数.

故，所以函数的值域为.

    【评注】函数单调性的变化是求最值和值域的依据，可根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．

六、数形结合法

【例6】求函数的值域.

【解析】 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.

在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为.

【评注】对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 借助于图象的直观性来求函数的值域．

七、判别式法

    【例7】求函数的值域.

     【解析】由于函数的定义域为，

所以去分母整理得：，

当时，，

即，解得：，

又当时，，所以函数的值域是.

    【评注】把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解.